[論文レビュー] A note on degenerate Stirling numbers of the first kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Advanced Mathematical Identities被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、高階調和数を引数とする完全なベル多項式を用いて、退化スターリング数の第一種の明示的公式を導出し、退化ガンマ分布を用いた確率的アプローチにより、それらを退化ダーリング数に関連付ける新しい恒等式を確立する。主な貢献は、モーメント計算を通じてこれらの組合せ的数を関連付ける母関数の恒等式である。

ABSTRACT

Recently, the degenerate Stirling numbers of the first kind were introduced. In this paper, we give some formulas for the degenerate Stirling numbers of the first kind in the terms of the complete Bell polynomials with higher-order harmonic number arguments. Also, we derive an identity connecting the degenerate Stirling numbers of the first kind and the degenerate derangement numbers by using probabilistic method.

研究の動機と目的

• 退化スターリング数の第一種を、高階調和数を引数とする完全なベル多項式で表現すること。
• 退化スターリング数の第一種と退化ダーリング数を結ぶ新しい恒等式を確立すること。
• 特に退化ガンマ分布を用いた確率的手法を適用して、組合せ的恒等式を導出すること。
• 母関数とモーメント計算を用いて、古典的スターリング数の恒等式を退化設定に一般化すること。

提案手法

• 退化降冪関数の母関数を用いて、退化スターリング数の第一種を対数的母関数と関連付ける。
• 完全なベル多項式の恒等式を適用し、対数的母関数を微分とベル多項式の形で表現する。
• パラメータ α=1, β=1 の退化ガンマ確率変数を導入し、モーメントと期待値を計算する。
• 退化ガンマ分布の確率密度関数を用いて、(1+λX)^{t/λ} のモーメント母関数を計算する。
• E[(1+λX)^{t/λ}] に対する二通りの表現（ベル多項式とモーメントによる表現、および級数展開による表現）を等置することで、二重母関数の恒等式を導出する。
• 得られた恒等式を用いて、退化スターリング数 S₁,λ(k,n) を退化ダーリング数 dₗ,λ と係数比較によって関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化スターリング数の第一種は、高階調和数を引数とする完全なベル多項式でどのように表現できるか？
• RQ2 退化スターリング数の第一種と退化ダーリング数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 退化ガンマ分布を用いた確率的手法により、退化スターリング数の新しい恒等式を導出できるか？
• RQ4 退化ガンマ分布のモーメントは、組合せ的恒等式の導出をどのように支援するか？

主な発見

• 退化スターリング数の第一種 S₁,λ(k,n) は、高階調和数を含む引数を持つ完全なベル多項式を用いて表現される。
• 新しい恒等式が導出された：∑_{k=n}^∞ [S₁,λ(k,n) n! / ((1−λ)(1−2λ)⋯(1−(k+1)λ))] = ∑_{l=0}^n (n choose l) dₗ,λ (1)_{n−l,λ}。λ ∈ (0, 1/(k+1)) かつ n ≥ 0 の範囲で有効。
• 退化ダーリング数 dₙ,λ は dₙ,λ = n! ∑_{l=0}^n [(1/(1−λ))^{n−l+1} (−1)^l / l! ] <1>_{l,λ} で明示的に与えられる。
• 退化ダーリング数の母関数は ∑_{n=0}^∞ dₙ,λ t^n / n! = (1/(1−λ)) ∑_{n=0}^∞ [∑_{l=0}^n (1/(1−λ))^{n−l} (−1)^l <1>_{l,λ} / l! ] t^n として導出された。
• 恒等式は、退化ガンマ確率変数のモーメント計算を通じて確立され、組合せ的数と確率的期待値が結びつけられた。
• 本稿では、母関数と確率的技術を用いて、古典的スターリング数の恒等式を退化状態に一般化した。