[論文レビュー] A note on dimensions of polynomial size circuits

Xiaoyang Gu|Apr 22, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リソース制限付き次元理論を用いて多項式サイズの回路の理解を精緻化し、P/poly が 0 階のスケーリング p3-強次元 0 を持ち、P/polyi.o. が p3-次元 1/2 および p3-強次元 1 を持つことを示している。Lutz (1992) や Hitchcock-Vinodchandran (2004) の先行研究の測度および次元に関する結果を、スケーリング次元の新規応用と測度保存定理の議論によって改善している。

ABSTRACT

In this paper, we use resource-bounded dimension theory to investigate polynomial size circuits. We show that for every $i\geq 0$, $\Ppoly$ has $i$th order scaled $\pthree$-strong dimension 0. We also show that $\Ppoly^\io$ has $\pthree$-dimension 1/2, $\pthree$-strong dimension 1. Our results improve previous measure results of Lutz (1992) and dimension results of Hitchcock and Vinodchandran (2004).

研究の動機と目的

• リソース制限付き次元理論を用いて多項式サイズの回路の理解を精緻化すること。
• Lutz (1992) や Hitchcock-Vinodchandran (2004) の P/poly および P/polyi.o. に関する先行の測度および次元の結果を改善すること。
• P/poly 及びその無限回にわたる変種のスケーリング次元に対する tighter 界を確立すること。
• P/polyi.o. の p3-次元が正確に 1/2 であり、p3-強次元が正確に 1 であることを示すこと。
• すべての i ≥ 0 に対して、P/poly の i 階のスケーリング p3-次元が 0 であることを示すこと。これは先行結果の改善である。

提案手法

• E3 および ESPACE 内の複雑度クラスを分析するために、リソース制限付き次元および強次元理論を適用する。
• KT 複雑度と回路サイズ複雑度の同値性を用いて、正確な次元界を導出する。
• 2 のべきの長さの文字列を除く言語 L を用いた、基本のスーパーマルティングレイド d に基づく修正されたスーパーマルティングレイド構成 d′ を採用する。
• 測度保存定理 (Lutz, 1992) を適用して、背理法により次元の下界を導出する。
• 長さが 2 のべきでない文字列における振る舞いを追跡する再帰的スーパーマルティングレイド d′ を導入し、変換下での成功集合を保存する。
• 無限長の接頭辞の構造と言語クラスの共通部分集合閉包性を用いて、次元の下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P/polyi.o. の正確な p3-次元は何か？
• RQ2 P/polyi.o. の正確な p3-強次元は何か？
• RQ3 i ≥ 0 のとき、P/poly の i 階のスケーリング p3-次元はどのように振る舞うか？
• RQ4 リソース制限付き次元理論を用いて、P/polyi.o. の次元を 1/2 以上に下界で抑えられるか？
• RQ5 すべての i ≥ 0 に対して、P/poly の p3-次元は厳密に 0 か？

主な発見

• P/polyi.o. の p3-次元は正確に 1/2 であり、Hitchcock と Vinodchandran の先行結果の 0 よりも改善されている。
• P/polyi.o. の p3-強次元は正確に 1 であり、先行結果の 0 よりも顕著な改善である。
• すべての i ≥ 0 に対して、P/poly の i 階のスケーリング p3-次元は 0 であり、同様に i 階のスケーリング p3-強次元も 0 である。
• P/poly の p3-次元は 0 であり、p3-強次元は 1 である。これは、クラスが次元的に小さくはあるが、非常に構造的であることを確認している。
• P/polyi.o. の p3-次元に対する 1/2 の下界は、無限回にわたるクラスに関する一般定理によって、タイトであることが確認された。
• すべての c > 0 に対して成り立つ。dim p3(SIZEi.o.(nc)) = 1/2 および Dimp3(SIZE(nc)) = 0 であり、P/poly 全体に拡張可能である。