[論文レビュー] A Note on Equimultiple Deformations

Thomas Markwig|ArXiv.org|May 26, 2007

Structural Analysis and Optimization参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面上の一点における多重度 $m$ の曲線をパラメトライズする多様体 ${\mathcal{L}}_m$ の接空間の次元を、ユニタングェンシャルおよび非ユニタングェンシャル特異点の違いを区別して計算する。等多重性イデアルとコhomological手法を用いて、任意の点 $(C,p)$ における ${\mathcal{L}}_m$ の期待次元が $\dim|L| - \frac{m(m+1)}{2} + 2$ であることを示す。

ABSTRACT

While the tangent space to an equisingular family of curves can be discribed by the sections of a twisted ideal sheaf, this is no longer true if we only prescribe the multiplicity which a singular point should have. However, it is still possible to compute the dimension of the tangent space with the aid of the equimulitplicity ideal. In this note we consider families L_m={(C,p) | mult_p(C)=m} with C in some linear system |L| on a smooth projective surface S and for a fixed positive integer m, and we compute the dimension of the tangent space to L_m at a point (C,p) depending on whether p is a unitangential singular point of C or not. We deduce that the expected dimension of L_m at (C,p) in any case is just dim|L|+2-m*(m+1)/2. The result is used in the study of triple-point defective surfaces in some joint papers with Luca Chiantini.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲面上の一点における固定多重度 $m$ の曲線をパラメトライズする多様体 ${\mathcal{L}}_m$ の接空間の次元を特定すること。
• 特異点がユニタングェンシャルであるか非ユニタングェンシャルであるかに応じて、接空間次元にどのような差が生じるかを明確にすること。
• ${\mathcal{L}}_m$ の各点 $(C,p)$ における期待次元を、特異点の型に依存しない形で確立すること。
• 等多重性イデアルの層を用いたコhomological枠組みを提供し、等多重性の変形を理解すること。
• [ChM06a] および [ChM06b] で参照された三重点欠損曲面の研究への応用。

提案手法

• ${\mathcal{L}}_m = \{(C,p) \in |L| \times S \mid \operatorname{mult}_p(C) = m\}$ を、線形系統と曲面の積の局所的閉部分多様体として定義する。
• 等多重性イデアルの層を用いて、$(C,p)$ における ${\mathcal{L}}_m$ の接空間を、$\mathcal{J}_Z(C)$ の大域的切断として記述する。ここで $Z$ は多重度条件を表す0次元スキームである。
• コhomological技法を適用：$\dim_{\mathbb{C}} H^0(S, \mathcal{J}_Z(C))$ を計算し、$H^0(S, \mathcal{O}_S(L))$ と $H^0(S, \mathcal{O}_Z)$ を含む完全系列を用いて接空間次元と関連付ける。
• 局所的解析的型に基づいて場合分けを行う：$C$ がユニタングェンシャル（局所的に $y^m + \text{h.o.t.}$）である場合、次元は2減少する。それ以外の場合は1減少する。
• ヤコビアン基準とジェット切断を用いて、0次元スキーム $Z$ の次数を計算し、接空間の余次元を特定する。
• 制限写像 $H^0(S, \mathcal{O}_S(L)) \to H^0(S, \mathcal{O}_Z)$ の全射性を分析することで期待次元を確立し、$\dim H^0(S, \mathcal{J}_Z(C)) = \dim|L| + 1 - \deg(Z)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的曲面上の一点における多重度 $m$ の曲線をパラメトライズする多様体 ${\mathcal{L}}_m$ の接空間の次元は何か？
• RQ2 ${\mathcal{L}}_m$ の接空間次元は、特異点がユニタングェンシャルであるかどうかに依存するか？
• RQ3 ${\mathcal{L}}_m$ の点 $(C,p)$ における期待次元は何か？ また、線形系統 $|L|$ と多重度 $m$ とどのように関係するか？
• RQ4 ${\mathcal{L}}_m$ の期待次元は、等多重性イデアルの層のコhomologicalデータから計算可能か？
• RQ5 ${\mathcal{L}}_m$ が期待次元の滑らかさを示す条件は何か。特に $S = \mathbb{P}^2$ の場合にどうか？

主な発見

• ${\mathcal{L}}_m$ の点 $(C,p)$ における接空間次元は、$C$ がユニタングェンシャルである場合 $\dim_{\mathbb{C}} H^0(S, \mathcal{J}_Z(C)) - 2$、そうでない場合 $\dim_{\mathbb{C}} H^0(S, \mathcal{J}_Z(C)) - 1$ である。
• $C$ がユニタングェンシャルのとき、0次元スキーム $Z$ の次数は $\frac{m(m+1)}{2} - 1$ である。$C$ が非ユニタングェンシャルのとき、$\frac{m(m+1)}{2} - 2$ である。
• ${\mathcal{L}}_m$ の点 $(C,p)$ における期待次元は $\dim|L| - \frac{m(m+1)}{2} + 2$ であり、これは $\dim H^0(S, \mathcal{J}_Z(C))$ のコhomological計算から導出される。
• $S = \mathbb{P}^2$ かつ $L = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)$ の場合、ヤコビアン行列がフルランク $\frac{m(m+1)}{2}$ を示すため、${\mathcal{L}}_m$ は期待次元の滑らかさを示す。
• ${\mathcal{L}}_m$ の接空間は、全線形系統の接空間において余次元が少なくとも $\frac{m(m+1)}{2} - 1$ であることが確認され、期待次元の公式が裏付けられる。
• 特異点の型にかかわらず一様に成り立つが、点 $p$ における曲線の局所的解析的構造に起因する補正項の違いのみが生じる。