[論文レビュー] A note on Euclidean cyclic cubic fields

Srinivas Kotyada, Subramani Muthukrishnan|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、73 から 11,971 の間の導言子をもつすべての巡回的三次数体で類数が 1 のものについて、許容的素数と非Wieferich素数に基づく基準を用いて、それらがEuklid的であることを証明している。類数が 1 であるならば、それらの体がEuklid的であることを示しており、Smith (1969) が67までの導言子について示したノルムEuklid的体の結果を拡張している。

ABSTRACT

Let $K$ be a cyclic cubic field and $\mathcal{O}_K$ be its ring of integers. In this note we prove that all cyclic cubic number fields with conductors in the interval $ [73, 11971]$ and with class number one are Euclidean.

研究の動機と目的

• 導言子 f ∈ [73, 11,971] で類数が 1 の巡回的三次体がEuklid的であるかどうかを特定すること。
• Smith (1969) が67までの導言子について示したノルムEuklid的体の結果を、それより大きな導言子範囲にまで拡張すること。
• 単位群の構造と素イデアルの条件を用いて、このような体のEuklid的性質を検証するための計算アルゴリズムを提供すること。
• この導言子範囲において、Euklid的性質が類数が 1 のときに限り成立することを確認すること。

提案手法

• Harper と Ram Murty が提唱した基準を用いる。すなわち、類数が 1 の整域で、s 個の許容的素数を持つ場合、r + s ≥ 3 ならばEuklid的である。
• s = 1 の許容的素数集合を構成する。具体的には、奇素数のノルムをもつ素数 π を特定し、単位 ε が π を法として原始根であることを満たし、かつ π が ε を法として非Wieferichであることを満たす。
• 補題 1.3 を用いて、単位 ε が (O_K / π²)^× の乗法的群を生成することを保証する。これにより、単位群から (O_K / π²)^× への自然な写像が全射であることが示される。
• 巡回的三次体は全実体であるため、単位群のランク r = 2 であり、したがって s = 1 で十分に r + s ≥ 3 を満たす。
• 有理素数 p が K で完全に分解するための必要十分条件は、p が f を法として立方剰量である、すなわち p^{(f−1)/3} ≡ 1 (mod f) であることである。
• 各巡回的三次体について、導言子 f ∈ [73, 11,971] かつ類数が 1 の場合に、このような素数 π と単位 ε の存在を確認するための計算アルゴリズムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導言子 f ∈ [73, 11,971] で類数が 1 のすべての巡回的三次体がEuklid的であるか？
• RQ2 Smith (1969) が67までの導言子について示したノルムEuklid的範囲を超えて、類数が 1 の巡回的三次体がEuklid的であるか？
• RQ3 特定の性質（原始根および非Wieferich）をもつ1つの許容的素数の存在が、このような体のEuklid的性質を証明するために利用可能か？
• RQ4 r = 2 かつ s = 1 のとき、r + s ≥ 3 が整数環がEuklid的であることを結論づけるのに十分か？
• RQ5 与えられた導言子範囲内のすべてのこのような体について、アルゴリズム的アプローチを体系的に適用してEuklid的性質を検証可能か？

主な発見

• 導言子 f ∈ [73, 11,971] で類数が 1 のすべての巡回的三次体が、Harper-Ram Murty 基準を用いてEuklid的であることが証明された。
• 証明は、奇素数のノルムをもつ1つの許容的素数 π を構成することに依存しており、そのとき単位 ε が π を法として原始根であり、かつ π が ε を法として非Wieferichであることを満たす。
• 各体について、このような素数 π の存在により、単位群から (O_K / π²)^× への自然な写像が全射であることが保証され、許容的条件を満たす。
• 本稿で開発されたアルゴリズムは、類数が 1 で導言子が指定範囲内の 114 個の既知の巡回的三次体すべてについて、Euklid的性質を正しく検証した。
• 本稿は、この導言子区間においてEuklid的性質が類数が 1 であることと同値であることを確認しており、従来の結果を拡張している。
• 本稿で使用したSageコードは公開されており、将来的にデータベースに追加された新たな体についての検証が可能である。