[論文レビュー] A note on extended full waveform inversion

Tristan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2019

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、物理的および測定誤差の不確実性に基づいて導出された、媒質に依存する残差重み行列 $Σ(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ を有する、通常の FWI としての拡張型全波形反転（FWI）の同等な定式化を提示する。主な貢献は、この再重み付けが非線形性を低減し、反復毎に追加の重み行列を導入するのみで、標準的な FWI ワークフローを用いた効率的な実装を可能にすることを示したことである。

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) aims at estimating subsurface medium properties from measured seismic data. It is usually cast as a non-linear least-squares problem that incorporates uncertainties in the measurements. In exploration seismology, extended formulations of FWI that allow for uncertaties in the physics have been proposed. Even when the physics is modelled accurately, these extensions have been shown to be beneficial because they reduce the non-lineary of the resulting data-fitting problem. In this note, I derive an alternative (but equivalent) formulation of extended full waveform inversion. This re-formulation takes the form of a conventional FWI formulation that includes a medium-dependent weight on the residuals. I discuss the implications of this re-formulation and illustrate its properties with a simple numerical example.

研究の動機と目的

• 拡張 FWI の代替的かつ同等な定式化を提供し、その利点を保ちつつ実装を簡素化すること。
• 拡張 FWI の定式化が、パラメータに依存する残差重み行列を有する通常の FWI に再定式化できることを示すこと。
• この再重み付けが、データ適合問題の非線形性を低減し、収束特性を改善することを示すこと。
• 既存の FWI ソフトウェアスタックを最小限の変更で活用することで、実用的実装を可能にすること。
• マージナル事後共分散を通じて、拡張 FWI フレームワークとベイズ的不確実性評価の間に接続を確立すること。

提案手法

• 波動場変数 $\mathbf{u}$ を削除することで、媒質に依存する重み行列 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ を有する目的関数に、拡張 FWI の同等な低次元定式化を導出する。
• 残差重み行列を $\Sigma(\mathbf{m}) = P(A^*(\mathbf{m})\Sigma_p^{-1}A(\mathbf{m}))^{-1}P^*$ として表現し、受信側グリーン関数の相関を表す。
• 通常の FWI と類似した勾配式を導出し、反復毎に追加の前方解析を1回のみ必要とすることを示す。
• $\Sigma(\mathbf{m})$ の実用的近似法として、ランダム行列プロービング、データに基づく共分散推定、および単純モデルにおける解析的表現を提案する。
• 速度構造が変化する1次元の簡易なアコースティック問題を用いて、新しい目的関数における非線形性の低減を数値的に示す。
• 時間領域および周波数領域の両方で、拡張 FWI と残差重み付き FWI 定式化の等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張 FWI を、媒質に依存する残差重み行列を有する通常の FWI に再定式化できるか？
• RQ2 $\Sigma(\mathbf{m})$ の導入が、FWI 目的関数の非線形性にどのように影響するか？
• RQ3 標準的な FWI ワークフローに、新しい残差重み付けスキームを実装する際の計算コストと実用的妥当性は何か？
• RQ4 完全な行列逆行列計算を伴わず、$\Sigma(\mathbf{m})$ を効率的に近似できるか？
• RQ5 新しい定式化と FWI におけるベイズ的不確実性評価の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 拡張 FWI の定式化は、プロセス誤差および測定誤差を考慮したパラメータに依存する残差重み行列 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ を有する通常の FWI と数学的に同等である。
• 数値的トゥイの例により、目的関数の等高線が滑らかになることから、新しい定式化がデータ適合問題の非線形性を低減することが示された。
• 新しい目的関数の勾配は、追加の前方解析を1回のみ実行すれば計算可能であり、実装において計算的に効率的である。
• 残差重み行列 $\Sigma(\mathbf{m})$ は、ベイズ的 FWI フレームワークにおけるマージナル事後分布の共分散として解釈できる。
• データに基づく共分散推定やランダムプロービングなどの近似法を用いることで、実用的に $\Sigma(\mathbf{m})$ を効率的に計算できる。
• 再定式化により、拡張 FWI と方程式誤差法との間の直接的な関係が明らかになった。特に、サンプリング演算子 $P$ が可逆である場合には顕著である。