[論文レビュー] A note on finite lattices with many congruences

Gábor Czédli|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有限ラティスにおける合同関係の数について鋭い閾値を確立する：$n$ 要素のラティスは、最大で $2^{n-1}$ 個の合同関係を持つことができ、等号が成り立つのはそれがチェーンである場合に限る。$2^{n-1}$ より少ない合同関係が存在する場合、最大値は $2^{n-2}$ であり、これは $C_1 \dot{+} B_2 \dot{+} C_2$ の形をしたラティスによって達成される。ここで $C_1$ と $C_2$ はチェーン、$B_2$ は4要素のブールラティスである。証明は帰納法、合同関係ラティスの構造、および商ラティスを通じた対応定理を用いる。

ABSTRACT

By a twenty year old result of Ralph Freese, an $n$-element lattice $L$ has at most $2^{n-1}$ congruences. We prove that if $L$ has less than $2^{n-1}$ congruences, then it has at most $2^{n-2}$ congruences. Also, we describe the $n$-element lattices with exactly $2^{n-2}$ congruences.

研究の動機と目的

• 既知の $2^{n-1}$ の最大値を超えて、有限ラティスにおける合同関係の数の上界をさらに精緻化すること。
• この上界が達成されない場合の、合同関係数の正確な最大値を特定すること。
• $n$ 要素のラティスが正確に $2^{n-2}$ 個の合同関係を持つことを特徴づけること。
• フリーズの $2^{n-1}$ 結果を、合同関係ラティスの構造と商ラティスを用いて、新たな証明を与えること。

提案手法

• ラティス $L$ のサイズ $n$ における帰納法を用い、合同関係ラティス $\textup{Con}(L)$ の構造を利用する。
• 最小の合同関係 $\Theta = \textup{con}(a,b)$ を生成する素性区間 $[a,b]$ を用いて、写像 $f(\Psi) = \Theta \vee \Psi$ を定義し、各像に対して高々2つの逆像を持つことを証明する。
• 対応定理を適用して $|\textup{Con}(L/\Theta)|$ と $|\textup{Con}(L)|$ を関係づけ、$|\textup{Con}(L/\Theta)| \geq \frac{1}{2} |\textup{Con}(L)|$ を得る。
• Funayama と Nakayama の結果により $\textup{Con}(L)$ が分配的であるという事実を用い、相対的補元の一意性を保証し、逆像の上限を支持する。
• 商ラティス $L/\Theta$ を分析して、$L$ に対する構造的制約を導出し、特に $|L/\Theta| = n-1$ または $n-2$ の場合、生成する素性区間がナロウスかどうかに基づいて場合分けを行う。
• 同型 $\textup{Con}(K \dot{+} \mathbf{2}) \cong \textup{Con}(K) \times \mathbf{2}$ を用いて、特に $|\textup{Con}(L)| = 2^{n-2}$ の場合に、整除性の議論によって特定の構成を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $n$ の有限ラティスがチェーンでない場合、最大で何個の合同関係を持つことができるか？
• RQ2 どの $n$ 要素のラティスが正確に $2^{n-2}$ 個の合同関係を持つか？
• RQ3 等号が成り立たない場合、$2^{n-1}$ 個の合同関係という上限を鋭くできるか？
• RQ4 正確に $2^{n-2}$ 個の合同関係を持つラティスの構造的性質は何か？
• RQ5 合同関係ラティス $\textup{Con}(L)$ の構造は、商写像と合同関係の生成を通じて、ラティス $L$ をどのように制約するか？

主な発見

• $n$ 要素のラティスは、最大で $2^{n-1}$ 個の合同関係を持つことができ、等号が成り立つのはそれがチェーンである場合に限る。
• ラティスに $2^{n-1}$ より少ない合同関係が存在する場合、その数は最大で $2^{n-2}$ 個である。
• 合同関係の数が正確に $2^{n-2}$ 個であることは、ラティスが $C_1 \dot{+} B_2 \dot{+} C_2$ の形をしていることと同値である。ここで $C_1$ と $C_2$ はチェーン、$B_2$ は4要素のブールラティスである。
• 証明は、写像 $\Psi \mapsto \Theta \vee \Psi$ と対応定理を用いた、$2^{n-1}$ 結果に対する新しい帰納的議論を確立する。
• 生成する素性区間がナロウスでない場合、商ラティス $L/\Theta$ はチェーンでなければならないし、ラティス $L$ は $a \prec b$、$a \prec c$、$b \vee c = d$、$b \prec d$ を満たす被覆正方形 $S = \{a, b, c, d\}$ を含まなければならない。また $L \setminus S$ もチェーンでなければならない。
• 構成 $C_1 \dot{+} N_5 \dot{+} C_2$ は除外される。なぜなら $|\textup{Con}(N_5)| = 5$ であり、$2^{n-2}$ を割り切らないため、必要な合同関係数と矛盾するからである。