[論文レビュー] A note on full free product C*-algebras, lifting and quasidiagonality

Florin P. Boca|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ℂ1に沿った完全自由積C*-代数の埋め込みおよび準対角性に関するキルヒベルクの結果について、新しい証明を提供する。unital 準対角的C*-代数のℂ1に沿った完全自由積が依然として準対角的であることを示し、ChoiのC*(𝔽ₙ)に関する結果を一般化する。そのために、ucp写像と因数分解技法を用いる。

ABSTRACT

We study lifting properties for full product C*-algebras with amalgamation over ${\mathbb C}1$ and give new proofs for some results of Kirchberg and Pisier. We extend the result of Choi on the quasidiagonality of $C^*({\mathbb F}_n)$, proving that the free product with amalgamation over ${\mathbb C}1$ of a family of unital quasidiagonal C*-algebras is quasidiagonal.

研究の動機と目的

• テンソル積の特徴づけを用いて、キルヒベルクのC*-代数における埋め込み性質に関する定理の簡略化された新証明を提供すること。
• ChoiのC*(𝔽ₙ)の準対角性に関する結果を、ℂ1に沿った任意のユニタリ準対角的C*-代数の完全自由積へ拡張すること。
• ucp写像の拡張を通じて、局所的埋め込み性質と自由積C*-代数の構造との間の関係を確立すること。
• ユニタリ準対角的C*-代数のℂ1に沿った完全自由積において、準対角性が保存されることを示すこと。
• クリスティンセン＝エフロス＝シンクラー埋め込みとポールセン＝スミス因数分解が、埋め込みおよび準対角性の議論において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• キルヒベルクによって確立された、局所的埋め込み性質（LLP）とB(ℋ)との最小および最大テンソル積の等価性の間の関係を利用する。
• 近似的に乗法的であるucp写像による準対角性の特徴づけ（[17]の定理1）を適用し、有限次元近似を構成する。
• 文献[2]による、A₁⁰ ⊗ … ⊗ Aₙ⁰からA₁⁎A₂へのucp写像のユニタリ線形拡張を用い、正値性と収縮性を保証する。
• A → ℬ(ℋ)の忠実な表現πを用意し、ℋ₀ ⊂ ℋ₁ ⊂ ℋ₂という有限次元部分空間の列を構成し、交換子のノルムを制御し、要素のノルムを近似する。
• Haagerupテンソル積を完全C*-アーマラメート化積へ埋め込むChristensen-Effros-Sinclair埋め込みを用い、テンソル積の恒等式と埋め込み行動との関係を関連付ける。
• δ-近似的な交換子と有限次元射影を用いた摂動論法により、有限集合Fに対して∥Φ(b)Φ(c) − Φ(bc)∥ < εが成り立つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々のC*-代数が準対角的であるならば、それらのℂ1に沿った完全自由積も準対角的であるか？
• RQ2 キルヒベルクのC*(𝔽)に関する埋め込み定理を、テンソル積の恒等式とucp写像の因数分解を用いて再証明できるか？
• RQ3 局所的埋め込み性質は、ℂ1に沿った自由積における準対角性の保存にどのような役割を果たすか？
• RQ4 部分代数から完全自由積へのucp写像の拡張は、有限次元近似を構成するためにどのように利用できるか？
• RQ5 B(ℋ)との最小および最大テンソル積の等価性は、ℂ1に沿った完全自由積においても保存されるか？

主な発見

• ℂ1に沿ったユニタリ準対角的C*-代数の完全自由積は、準対角的であり、ChoiのC*(𝔽ₙ)に関する結果を一般化する。
• 各Aᵢが局所的埋め込み性質（LLP）を持つならば、完全自由積∗ᵢ∈I AᵢもLLPを持つ。
• 各Aᵢに対してA_min ⊗ B(ℋ) = A_max ⊗ B(ℋ)が成り立つならば、A = ∗ᵢ∈I Aᵢに対しても同様の等式が成り立つ。
• 任意のユニタリ準対角的C*-代数の族(Aᵢ)ᵢ∈Iに対し、完全自由積∗ᵢ∈I Aᵢは準対角的である。
• 証明は、有限次元近似を用いて、∥Φ(a)∥ > ∥a∥ − εおよび有限集合に対して∥Φ(b)Φ(c) − Φ(bc)∥ < εを満たすucp写像Φ: A → ℬ(ℋ₀)の構成に依存する。
• 結果は、フォンノイマン代数へ拡張可能である：Aが埋め込み性質を持つならば、任意のフォンノイマン代数Bに対してA ∗_ℂ1 Bも埋め込み性質を持つ。