[論文レビュー] A Note on "Global solutions for nonlinear fuzzy fractional integral and integrodifferential equations"

Robab Alikhani, F. Bahrami|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、α-レベル集合と鋭い数のL-U表現を用いた厳密な証明により、ファジィ分数積分微分方程式に関する先行研究の2例における正確な解の正当性を検証する。他の研究が非実数のファジィ数に対して x − x = 0 を誤って使用したとして解が不正であると主張したのを反証し、区間演算を用いたαカット上で方程式を満たすことを示し、上界解と下界解の枠組み内での有効性を確認する。

ABSTRACT

The authors in \cite{alikhani} have given two examples to illustrate their results in which they have been eliminated the technical details. However, the authors in \cite{salahshur} claimed that the examples are incorrect. In fact they conjectured that the authors in \cite{alikhani} have employed the incorrect statement $x-x=0$ for $x\in {\mathbb R}_{\mathcal F}\setminus \mathbb R$ to construct the examples. Here we intend to observe that the basic method used in \cite{alikhani} to prove the validity of the examples is the well-known L-U representation of a fuzzy-number valued function. In this sense, we will make use of the $α$-level sets and show that the examples are correct.

研究の動機と目的

• ファジィ分数積分微分方程式（FFIDEs）に関する先行研究の2例における正確な解の正しさに関する論争を解決すること。
• 他の研究が誤りであると主張したにもかかわらず、解が数学的に正当であることを示すこと。
• 元の証明で、実数でないファジィ数に対して x − x = 0 を誤って使用したとは、事実ではないことを明確にすること。
• 解が理論的枠組みで要求される上界解と下界解の境界内に位置することを示すこと。
• α-レベル集合に基づく証明法が、ファジィ分数級数の解の検証において十分かつ正しいことの確立すること。

提案手法

• 本稿はファジィ数をα-レベル集合で表現し、各ファジィ数cをα ∈ [0,1]に対して[c]α = [clα, crα]として表す。
• ファジィ数値関数のL-U表現を用いて、αカット上での解の挙動を分析する。
• 各αレベルにおける分数積分微分方程式から導かれる区間値式の等価性を確認することで、解の有効性を検証する。
• 区間演算を用いて、例における方程式の左辺と右辺を計算し、すべてのα ∈ [0,1]で一致することを示す。
• 証明は、特に補題2.2における分配法則およびスカラー乗法の性質に依存し、非実数のファジィ数に対して x − x = 0 という誤った操作を避ける。
• 解が上界解と下界解の間にある必要はなく、ある解がその間にあることのみが要求されることを、元の研究の定理4.5–4.6に言及して確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例1および例2の[1]で提示された正確な解は、誤りの主張にもかかわらず数学的に正当であるか？
• RQ2 元の著者らは、実数に属さないファジィ数に対して x − x = 0 を誤って仮定したのか？
• RQ3 ファジィ算術の恒等式を用いる代わりに、α-レベル集合を用いることで解の正しさを確立できるか？
• RQ4 ファジィ分数方程式の文脈において、すべての解が上界解と下界解の間にある必要があるのか？
• RQ5 定義2.3で与えられたファジィ分数導関数の定義に基づき、u(t) = c および u(t) = c + ct^{q-1} が初期値問題を満たすか？

主な発見

• 例2.4における解 u(t) = c は正当である。区間演算を適用した後、両辺のα-レベル集合が一致する。
• 例2.5における解 u(t) = c + ct^{q-1} は正当である。区間演算を用いて各αカット上で等式が確認された。
• 研究[4]が証明で x − x = 0 を使用したと主張したのは誤りである。本稿は証明がファジィ減算ではなく、α-レベル集合の演算にのみ依存することを示している。
• 解 u(t) = c は、定義2.3が要求する lim_{t→0+} t^{1−q}u(t) = ˆ0 を満たす。
• c ≥ ˆ0 のとき、解 u(t) = c + ct^{q−1} は下界解 ct^{q−1} と上界解 10ct^{q−1} の境界内に位置し、[1]の定理4.5と整合的である。
• 本稿は、すべての解が上界解と下界解の間にある必要はないこと、一部の解がその間にあることのみが要求されることを確認した。これにより、[4]における誤解が解消された。