[論文レビュー] A note on group actions on algebraic stacks

Matthieu Romagny|ArXiv.org|May 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数的スタック上の群作用の基礎的定義を確立し、固有かつ平坦な群スキームおよび分離かつ平坦な群スキームの下での固定点スタックの代数的性を証明する。また、商スタック 𝒪/M/G が G- torsor のスタックと同型であり、G が底スキーム S 上で平坦、分離的、有限表示であるとき代数的であることを示す。

ABSTRACT

We give the basic definitions of group actions on (algebraic) stacks, and prove the existence of fixed points and quotients as (algebraic) stacks.

研究の動機と目的

• 代数的スタック上の群作用の理論を形式化すること。これは、モジュライ問題において頻繁に用いられつつも、文脈的に体系的に取り扱われていなかった。
• オーヴァーラップ Gromov-Witten 理論やガロア被覆をパラメータ化する Hurwitz スタックといった応用分野における厳密なフレームワークの必要性に対処すること。
• 群スキームの自然な幾何的仮定の下で、商スタックおよび固定点スタックの存在と代数的性を確立すること。
• 商スタックを G- torsor のスタックとして正確に特徴づけ、降下および fppf 位相と整合することを保証すること。
• スキームの商に関する古典的結果を、特に混合特徴関数および有限平坦群スキームの設定において、代数的スタックの文脈に拡張すること。

提案手法

• 2-カテゴリのスタックの世界における2-可換図式を用いて、1-準同型および2-同型を用いて等変性を記述することで、代数的スタック上の群作用を定義する。
• G-等変写像の前スタックに対応するスタックとして、商スタック 𝒪/M/G を構成し、それが G- torsor の関手を代表することを保証する。
• 全単射的かつ局所的に本質的に全射な準同型を構成することで、商スタックが G- torsor のスタックと同型であることを証明する。
• fppf 降下および基底変換の性質を活用し、Isom-スキームの代表可能性と対角射を用いて、商スタックの代数的性を確立する。
• canonical morphism 𝒪/M → 𝒪/M/G を用いて、𝒪/M からのアトラスによって商が fppf-局所的に代表可能であることを示す。
• Laumon-Moret-Bailly の代数的性の基準を適用し、対角射が代表可能で、分離的かつ準コンパクトであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的スタック上の群作用の固定点スタックは、どのような条件下で存在し、代数的であるか？
• RQ2 代数的スタック上の群作用による商スタックは、どのような条件下で代数的であるか？
• RQ3 与えられた群スキーム作用に対して、商スタックをどのように G- torsor のスタックとして特徴づけられるか？
• RQ4 𝒪/M 上の G-線形化されたラインバンドルのスタックと、商スタックの Picard スタックとの関係は何か？
• RQ5 底スキーム S における基底変換に関して、商スタックの構成はどのように可換するか？

主な発見

• 商スタック 𝒪/M/G は、𝒪/M 上の G- torsor のスタック (𝒪/M/G)* と同型であり、この同一視は自然である。
• G が S 上で平坦、分離的、有限表示であるとき、商スタック 𝒪/M/G は代数的である。ゆえに、代数的スタックの2-カテゴリの対象である。
• 自然な射影 𝒪/M → 𝒪/M/G は fppf 準同型であり、商スタック上の普遍的な G- torsor をなす。
• 商スタックの構成は、底スキーム S における基底変換と可換であり、関手的性を保証する。
• 𝒪/M/G の対角射は代表可能で、分離的かつ準コンパクトであり、標準的基準により代数的性が従う。
• 𝒪/M 上の G-線形化されたラインバンドル F に対して、G-線形化されたラインバンドルのスタックは、商スタックの Picard スタックと同型であり、すなわち 𝒫ic(𝒪/M/G) ≅ 𝒫ic^G(𝒪/M) ≅ 𝒫ic(𝒪/M)^G である。