[論文レビュー] A Note on Harmonic number identities, Stirling series and multiple zeta values

Markus Kuba, Alois Panholzer|ArXiv.org|Jul 2, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、切り捨てられた多重ゼータ星関数およびゼータ関数の値を含む一般化された級数を導入し、スターリング級数、オイラー和、および阿部・金子ゼータ関数と関連付ける。中間的多重ゼータ値の行列式表現を確立し、このような表現が t=0（通常のゼータ）および t=1（スター・ゼータ）の場合にのみ存在することを証明する。また、t=1/2 の特別な場合において、調和数を含む新しい公式が得られる。

ABSTRACT

We study a general type of series and relate special cases of it to Stirling series, infinite series discussed by Choi and Hoffman, and also to special values of the Arakawa-Kaneko zeta function, complementing and generalizing earlier results. Moreover, we survey properties of certain truncated multiple zeta and zeta star values, pointing out their relation to finite sums of harmonic numbers. We also discuss the duality result of Hoffman, relating binomial sums and truncated multiple zeta star values.

研究の動機と目的

• 切り捨てられた多重ゼータ関数およびゼータ星関数の値を含む一般化された級数 S(ℓ₁,ℓ₂,r₁,r₂) を研究すること。
• この級数がスターリング級数およびホフマン型オイラー和を含む既知の和のクラスとどのように関係するかを明らかにすること。
• 中間的多重ゼータ値 ζⁿᵗ({1}ᵏ) の行列式表現を調査し、その存在条件を特定すること。
• 調和数の恒等式を用いて、阿部・金子ゼータ関数および切り捨てられたゼータ関数に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 調和数、二項係数、および切り捨てられたゼータ関数を用いて、級数 S 及びその切り捨てられた版 Sₙ を定義する。
• スタッフル積および母関数技法を用いて、ζⁿᵗ({1}ᵏ) を調和数 Hₙ⁽ⁱ⁾ の多項式として展開する。
• ラプラス展開および係数比較を適用し、行列式表現が存在する条件を同定する。
• ホフマンおよびイハラの代数的枠組みを用いて、t=1/2 における ζⁿᵗ({1}ᵏ) の生成関数を導出する。
• スタッフル関係の再帰的適用により、ζⁿᵗ({1}ᵏ) の構造を解析し、明示的な多項式表現を導出する。
• 係数一致から得られる方程式系を解くことにより、k≥5 および t≠0,1 の場合に行列式形式が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ζⁿᵗ({1}ᵏ) = (1/k!)|H| のような行列式表現が存在する t の値は何か？
• RQ2 一般化された級数 S(ℓ₁,ℓ₂,r₁,r₂) はスターリング級数および阿部・金子ゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ3 t=1/2 の場合、中間的ゼータ値 ζⁿᵗ({1}ᵏ) は調和数を用いて表現可能か？
• RQ4 t=0 および t=1 を超えて、このような行列式公式が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ5 ζⁿᵗ({1}ᵏ) は一般化された調和数 Hₙ⁽ⁱ⁾ の多項式としてどのように構造を持つのか？

主な発見

• ζⁿᵗ({1}ᵏ) の行列式表現は、t=0（通常のゼータ）および t=1（スター・ゼータ）の場合にのみ存在する。t=1/2 の特別な場合においては、新しい公式が得られる。
• t=1/2 および k=4 の場合、ζⁿᵗ({1}⁴) = (1/24)[Hₙ⁴ + 2HₙHₙ⁽³⁾] が成り立ち、c₁=0, c₂=i√2, c₃=−i√2 である。
• k=5 および t=1/2 の場合、ζⁿᵗ({1}⁵) = (1/80)Hₙ⁽⁵⁾ + (1/24)Hₙ²Hₙ⁽³⁾ + (1/120)Hₙ⁵ であるが、行列式形式は存在しない。
• 係数比較法により、一般の k に対して必要な方程式系を満たすのは t=0 および t=1 のみであることが示された。
• t=1/2 の場合、ζⁿᵗ({1}ᵏ) はベル多項式を含む生成関数の公式を有する：Bₖ₋₁(0!·2Hₙ⁽¹⁾, 0, 2!·2Hₙ⁽³⁾, 0, …)。
• すべての偶数次の一般化された調和数 Hₙ⁽²ˡ⁾ は t=1/2 の場合に消えるため、式が簡略化される。