[論文レビュー] A note on Harnack and Transportation inequalities For Stochastic Differential Equations with reflections

Brahim Boufoussi, Soufiane Mouchtabih|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反射確率微分方程式（RSDE）および局所時刻を伴う確率微分方程式（SDEL）に対して、輸送コスト不等式とハーナック不等式を確立する。ギルサンフの変換とカップリング手法を用いて、一様距離および$L^2$距離に関して$T_1(C)$および$T_2(C)$不等式を導出し、測度の集中および指数的エルゴード性を示す。主な結果として、係数の弱い正則性条件下で、関連する半群に対して対数ハーナック不等式を確立する。

ABSTRACT

We establish transportation cost inequalities, with respect to the uniform and $L_2$-metric, on the path space of continuous functions, for laws of solutions of stochastic differential equations with reflections. We also consider the case of stochastic differential equations involving local times. Harnack inequalities for the associated semigroups are also established.

研究の動機と目的

• 反射SDEの解の分布に関して、一様距離および$L^2$距離に関する$T_1(C)$および$T_2(C)$輸送コスト不等式を導出すること。
• 反射および局所時刻付きSDEに関連する半群に対して、対数ハーナック不等式およびハーナック不等式を確立すること。
• ワッサーシュタイン距離の推定を用いて、局所時刻付きSDEの小時間および大時間漸近挙動を分析すること。
• 適切な条件下で、不変測度へのワッサーシュタイン距離における指数的収束を証明すること。
• 導出された輸送コスト不等式を用いて、解の加法的関数への集中不等式を提供すること。

提案手法

• パス空間上での反射SDEの分布に対する輸送コスト不等式を導出するために、ギルサンフ変換を用いる。
• カップリング技法を適用して、半群$P_t f(x) = \mathbb{E}[f(X^x(t))]$の対数ハーナック不等式およびハーナック不等式を確立する。
• 測度の変更により、局所時刻付きSDEを通常のSDEに変換し、Wang（2011）のハーナック不等式に関する既知の結果を適用する。
• ワッサーシュタイン距離$W_p^d(\mu, \nu)$および相対エントロピー$H(\nu/\mu)$を用いて、$T_p(C)$不等式を定義および検証する。
• Djelloutら（2004）の結果を応用して、$W_2$距離における遷移核の不変測度への指数的収束を証明する。
• 特に、$T_1(C)$不等式を用いて、時間平均および過程の上界に関するホーフィング型の不等式を含む、集中不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射SDEの分布は、パス空間上の一様距離および$L^2$距離に関して輸送不等式を満たすか？
• RQ2 ドリフトおよび拡散係数の弱い正則性条件下で、反射SDEの半群に対して対数ハーナック不等式およびハーナック不等式を確立できるか？
• RQ3 局所時刻付きSDEの不変測度への収束速度は、ワッサーシュタイン$W_2$距離でどの程度か？
• RQ4 局所時刻付きSDEの輸送不等式は、加法的関数への測度の集中にどのように寄与するか？
• RQ5 ワッサーシュタイン推定によって捉えられる、局所時刻付きSDEの解の小時間および大時間漸近的挙動は何か？

主な発見

• 反射SDEの解の分布は、一様距離および$L^2$距離に関して$T_1(C)$および$T_2(C)$不等式を満たし、測度の集中を示唆する。
• パス空間上でのリプシッツ関数$F_V$に対して、集中不等式$\mathbb{P}\big(\frac{1}{T}\int_0^T V(X(t)) dt - \mathbb{E}[V(X(t))] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C\alpha^2}\big)$が成り立つ。
• 上界関数$F_\infty$に対して、集中境界$\mathbb{P}\big(\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x| - \mathbb{E}[\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x|] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C}\big)$が確立される。
• 条件$H(7)$および$H(8)$の下で、半群はハーナック不等式を満たす：$(P_T f(y))^p \leq (P_T f^p(x)) \exp\big[\cdots\big]$（$p > (1 + \gamma/\lambda)^2$）。$|x-y|^2$に明示的な依存関係を有する。
• 不変測度との間のワッサーシュタイン距離は指数的に減少する：$W_2(P_t(x,\cdot), \mu) \leq \frac{M}{m} e^{-\delta t} \big(\int |x-y|^2 \mu(dy)\big)^{1/2}$。
• 特定のSDE（$\sigma(x) = I_{x<0} + \frac{1+\beta}{1-\beta}I_{x\geq0}$、$b(x) = -\delta x \sigma(x)$、$\nu = \beta \delta_0$）に対して、変換後の過程はオーナイユ・プロセスとなり、すべての結果が適用可能である。