[論文レビュー] A note on higher-order filling functions

Robert M. Young|arXiv (Cornell University)|May 5, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限生成群において第3階の充填関数 FV₃(n) と第2階のデーン関数 δ₂(n) が同値でないことを構成的に示し、高階の充填関数が独立して振る舞う可能性があることを示している。さらに、k ≥ 3 の場合、δₖ(n) と FVₖ(n) が非再帰的である、つまり任意の計算可能関数より速く成長するような群が存在することを示している。

ABSTRACT

Abstract. We construct groups in which FV 3 (n) ≁ δ 2 (n). This construction also leads to groups Gk, k ≥ 3 for which δ k (n) is not subrecursive. The Dehn function of a group measures the complexity of the group’s word problem by measuring the difficulty of filling loops in a corresponding complex. A natural generalization is to consider the difficulty of filling higher-dimensional manifolds or cycles, and there are several ways to do so, varying in the nature of the filling and the boundary. One can consider, for example, the volume necessary to fill a k-sphere with a ball (δ k), to fill ∂M with M (δ M), or to fill a (k − 1)-cycle by a k-chain (FV k). In some cases, these functions are equivalent; for example, the methods used in [9] work for all these definitions. Along these lines, Brady et al. [3] show that if M is connected and dimM = k + 1 ≥ 4 then δ M (n) ≼ δ k (n). In this note, we will show that this is not necessarily true if dim M = 3, and that there are groups where FV 3 is not equivalent to δ 2. We will also show that for k ≥ 2 there are groups where FV k is not subrecursive (i.e., grows faster than any computable function) and for k ≥ 3, there are groups where δ k is not subrecursive.

研究の動機と目的

• 有限生成群における異なる高階充填関数、特に FV₃(n) と δ₂(n) の関係を調査すること。
• k ≥ 3 に対して、δₖ(n) と FVₖ(n) が常に同値であるかどうかを特定すること。
• k ≥ 3 の場合に、δₖ(n) と FVₖ(n) が任意の計算可能関数より速く成長する群を構成すること。
• 幾何的群論における高次元充填関数の階層と独立性を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、高階充填関数の成長を制御できるように、組合せ的群論的手法を用いて特定の有限生成群を構成する。
• k-チェーンを用いた3次元サイクルの充填を分析し、(k−1)-サイクルを充填するために必要な体積に注目する。
• 次元 M が 3 のとき、δₘ(n) と FVₖ(n) の同値性が成立しないことを利用し、dim M ≥ 4 の場合に既知の結果と対比する。
• デーン関数 δ₂(n) が FV₃(n) よりも遅く成長するように群を設計することで、非同値性を示している。
• 既知の結果 [9] および [3] を用いて、さまざまな充填関数の境界を確立し、それらを比較する。
• k ≥ 3 の場合に、δₖ(n) と FVₖ(n) が非再帰的である、すなわち任意の計算可能関数より速く成長するように構成を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限生成群に対して、FV₃(n) と δ₂(n) は同値か？
• RQ2 k ≥ 3 の場合に、δₖ(n) と FVₖ(n) が非再帰的であることは可能か？
• RQ3 dim M = 3 のとき、すべての k と m に対して δₘ(n) ≼ δₖ(n) が成り立つか？
• RQ4 FV₃(n) が δ₂(n) より厳密に速く成長する群は存在するか？
• RQ5 多様体の次元が 3 のとき、δₘ(n) と FVₖ(n) の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、FV₃(n) と δ₂(n) が同値でない群を構成しており、高階充填関数が独立して振る舞う可能性があることを示している。
• k ≥ 3 の場合、δₖ(n) が非再帰的である群が示されている。これは、任意の計算可能関数より速く成長することを意味する。
• 同様に、k ≥ 3 の場合、FVₖ(n) が非再帰的である群が存在し、極めて急速な成長を示している。
• 構成により、dim M = 3 のとき、不等式 δₘ(n) ≼ δₖ(n) が常に成り立つとは限らないことが示された。たとえ k = 3 であっても同様である。
• 結果として、FVₖ(n) と δₖ(n) は低次元の設定において根本的に異なる漸近的挙動を示す可能性があることが明らかになった。
• 本研究により、高階充填関数が常に同値ではなく、再帰的境界を逸脱する可能性があることが確立された。