[論文レビュー] A note on identities in plactic monoids and monoids of upper-triangular tropical matrices

Alan J. Cain, Georg Klein+3 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ヤング盤の組合せ論を用いて、無限ランクのプレアック・モノイドが非自明な恒等式を満たさないことを確立している。具体的には、ランク-nのプレアック・モノイドにおいて長さ ≤ n の非自明な恒等式が成立しないことを示している。また、n×n 上三角トロピカル行列のモノイドに対して新しい恒等式を導入し、ランク3のプレアック・モノイドを2つの3×3上三角トロピカル行列モノイドの直積への明示的埋め込みを構成することで、ランク3のプレアック・モノイドが非自明な恒等式を満たすことを新たな証明で示している。

ABSTRACT

This paper uses the combinatorics of Young tableaux to prove the plactic monoid of infinite rank does not satisfy a non-trivial identity, by showing that the plactic monoid of rank $n$ cannot satisfy a non-trivial identity of length less than or equal to $n$. A new identity is then proven to hold for the monoid of $n imes n$ upper-triangular tropical matrices. Finally, a straightforward embedding is exhibited of the plactic monoid of rank $3$ into the direct product of two copies of the monoid of $3 imes 3$ upper-triangular tropical matrices, giving a new proof that the plactic monoid of rank $3$ satisfies a non-trivial identity.

研究の動機と目的

• 無限ランクプレアック・モノイドが非自明な恒等式を満たすかどうかを特定すること。
• 特にランク n ≥ 4 の有限ランクプレアック・モノイドにおいて恒等式が存在するかを調査すること。
• n×n 上三角トロピカル行列のモノイドが満たす新しい非自明な恒等式を構成すること。
• ランク3プレアック・モノイドを2つの3×3上三角トロピカル行列モノイドの直積への明示的埋め込みを新たに構成すること。
• この埋め込みを用いて、ランク3プレアック・モノイドが非自明な恒等式を満たすことを別証明で示すこと。

提案手法

• ヤング盤の組合せ論とシュエンステッドのアルゴリズムを用いてプレアック・モノイドの構造を分析する。
• ヤング盤の行読みと列読みの表現を用いて、ランク3プレアック・モノイドの要素を特徴付ける。
• ヤング盤の要素から導かれる行列表現を用いて、ランク3プレアック・モノイドから2つのU₃(𝕋)の直積への写像Ψ₃を構成する。
• 半環ℝ ∪ {−∞} におけるトロピカル行列乗算（加法をmax、乗法を+とする）を用いる。
• ヤング盤とそのP記号の間の双対性を用いて、埋め込みΨ₃の単射性を保証する。
• 行列像φ₃(u)とσ₃(u)がテーブルのパラメータを一意に決定することを示すことで、単射性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ランクプレアック・モノイドは非自明な恒等式を満たすか？
• RQ2 ランクnのプレアック・モノイドは長さ ≤ n の非自明な恒等式を満たすことができるか？
• RQ3 n×n 上三角トロピカル行列のモノイドにどのような新しい恒等式が成立するか？
• RQ4 ランク3プレアック・モノイドをトロピカル行列モノイドの直積への明示的埋め込みは存在するか？
• RQ5 このような埋め込みは、ランク3プレアック・モノイドが非自明な恒等式を満たすことを示唆するか？

主な発見

• 無限ランクプレアック・モノイドは、任意のnに対してランクnプレアック・モノイドにおいて長さ ≤ n の非自明な恒等式が成立しないことから、非自明な恒等式を満たさない。
• 各n ≥ 3に対して、n×n上三角トロピカル行列のモノイドは、オクニンスキーのアプローチに基づく方法により構成された新しい非自明な恒等式を満たす。
• 写像Ψ₃: plact₃ → U₃(𝕋) × U₃(𝕋) で u ↦ (φ₃(u), σ₃(u)) と定義されるものは、単射準同型であるため、埋め込みである。
• 埋め込みΨ₃により、plact₃が恒等式 u₂(xy, yx) = v₂(xy, yx) を満たすことが結論付けられる。ここでu₂とv₂は2変数の特定の語である。
• plact₃に属する任意の要素と関連するヤング盤のパラメータは、φ₃とσ₃による像から一意に回復可能であり、単射性が確認される。
• 本結果により、イジャキアンの以前の部分直積構成とは独立した、plact₃が非自明な恒等式を満たす新たな素朴な証明が得られた。