[論文レビュー] A note on interpolation in the generalized Schur class

Daniel Alpay, T. Constantinescu+2 more|ArXiv.org|Aug 7, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたシュールクラスにおける補間および因子分解を研究するため、ポントレヤーギン空間上の作用素コリゲーションの実現理論を開発する。関数が一般化されたシュール関数の制限であるための基準を確立し、再生核における負の平方数の数を係数行列のインertia（慣性）に関連づけ、スペクトル理論とカーネル分解を用いて不定的カラテオドリ-フェージェル問題を解く。

ABSTRACT

Realization theory for operator colligations on Pontryagin spaces is used to study interpolation and factorization in generalized Schur classes. Several criteria are derived which imply that a given function is almost the restriction of a generalized Schur function. The role of realization theory in coefficient problems is also discussed.

研究の動機と目的

• ポントレヤーギン空間上の作用素コリゲーションの実現理論を発展させ、一般化されたシュールクラスにおける補間および因子分解を分析すること。
• 単位円板の部分集合上で定義された関数が一般化されたシュール関数の制限であるための必要十分条件を導出すること。
• 正規化された実現における再生核の負（正）の平方数の数を、テイラー展開からの係数行列の慣性に関連づけること。
• 一般化されたシュールクラスの枠組みにおいて、不定的カラテオドリ-フェージェル補間問題を解くこと。
• 古典的なブラシケ列およびカーネルの非負性に関する結果を、不定的（ポントレヤーギン空間）の設定に拡張すること。

提案手法

• ポントレヤーギン空間上の作用素コリゲーションの実現理論を用い、一般化されたシュール関数を等長的・共等長的・ユニタリコリゲーションによって表現する。
• スペクトル定理を適用してカーネル作用素 $ P $ を正の、負の、ゼロのスペクトル部分空間に分解し、負の平方数の数を分析する。
• 商空間および完備化を用いて $ H^2_{\mathfrak{F}}/\ker P $ から再生核ポントレヤーギン空間 $ \mathfrak{K} $ を構成する。
• カーリー型表現を用い、$ A(z) = \sum_{m=0}^\infty A_m z^m $ として、値がインデックス $ \kappa $ のポントレヤーギン空間にとる関数 $ A(z) $ を用いてカーネルを $ K(w,z) = A(w)^* A(z) $ と表現する。
• カーネルの負の平方数の数が部分領域への制限に関して不変であるという事実を用い、問題を原点の近傍における局所的解析に還元する。
• 文献[3, 定理1.1.3]を適用して、行列カーネル $ C(m,n) = C_{mn} $ に対して一意な再生核ポントレヤーギン空間 $ \mathfrak{H}_C $ が存在することを保証し、係数行列のスペクトル解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板の部分集合 $ \Omega \subset \mathbb{D} $ 上で定義された関数が、一般化されたシュールクラス $ \mathbf{S}_\kappa $ の関数の制限であるための条件は何か？
• RQ2 正規化された実現における再生核 $ K_S(w,z) = \frac{1 - S(z)S(w)^*}{1 - z\bar{w}} $ の負の平方数の数は、関数 $ S $ のテイラー展開から得られる係数行列の慣性とどのように関係するか？
• RQ3 実現理論を用いて、一般化されたシュールクラスの枠組みにおいて、不定的カラテオドリ-フェージェル補間問題を解くことは可能か？
• RQ4 ブラシケ列は、1つの負の平方数を持つカーネルを持つ関数が $ \mathbf{S}_1 $ 関数の制限であることを特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 一般化されたシュール関数の正規化された実現（共等長的、等長的、ユニタリ）は、それらに関連する再生核における負（正）の平方数の数を、係数行列 $ (C_{mn}) $ の負（正）の固有値の数とどのように反映するか？

主な発見

• 単位円板の部分集合 $ \Omega \subset \mathbb{D} $ 上で定義された関数 $ S(z) $ が $ \mathbf{S}_1 $ に属する関数の制限であるための必要十分条件は、$ \Omega \setminus \{w_0\} $ がブラシケ列であることである。
• 再生核 $ K_S $ の負の平方数の数がちょうど $ \kappa $ であるための必要十分条件は、すべての十分大きな $ r $ に対して行列 $ (C_{mn})_{m,n=0}^r $ がちょうど $ \kappa $ 個の負の固有値を持ち、すべての $ r $ に対しては最大で $ \kappa $ 個の負の固有値を持つことである。
• 一般化されたシュール関数の正規化された共等長的・等長的・ユニタリ実現は、それらの再生核における負（正）の平方数の数が、係数行列 $ (C_{mn}) $ の負（正）の固有値の数に等しいことを示す。
• 不定的カラテオドリ-フェージェル問題は、スペクトル分解とカーネル実現を用いて、所望のデータと一致するテイラー係数を持つ一般化されたシュール関数を構成することで解かれる。
• 再生核 $ K_S $ の負の平方数の数は、部分領域への制限に関して不変であり、これにより原点近傍における局所的解析への還元が可能である。
• カーネル $ K(w,z) $ を $ A(w)^* A(z) $ として表現し、$ A(z) = \sum A_m z^m $ とし、$ A_m $ をインデックス $ \kappa $ のポントレヤーギン空間上の作用素とする。このとき $ \mathrm{sq}_- K = \kappa $ が保証される。