[論文レビュー] A Note on Islands in Schwarzschild Black Holes

I. Ya. Aref’eva, И. В. Волович|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、シュバルツシルトブラックホールにおけるアイランド構成が、質量が減少するにつれて発散する項 $ \frac{c b}{6 r_h} $ のため、蒸発過程においてエンタングルメントエントロピーを有界に保てないことを示している。エンタングルメントエントロピーの最小化が永遠のブラックホールでは安定化をもたらすが、蒸発の最終段階に近づくとエントロピーは無限に増大し、平坦な時空におけるアイランド提案のユニタリティに疑問を呈する。

ABSTRACT

We consider evaporation of the Schwarzschild black hole and note that island configurations do not provide a bounded entanglement entropy. The same remark is valid also for some other static black holes. A proposal for improving the situation is discussed

研究の動機と目的

• シュバルツシルトブラックホールにおけるアイランド構成が蒸発過程で有界なエンタングルメントエントロピーを提供するかどうかを調査すること。
• 蒸発するブラックホールに適用した場合のアイランド式における無限大エントロピー増大の原因を特定すること。
• 小規模なブラックホール質量（$ r_h \to 0 $）の極限における量子極小表面の規定の有効性を評価すること。
• 小スケールでの $ r_h $ におけるクラスクァル座標の特異性を解消するため、熱的座標による正則化を提案すること。
• 一般性を評価するために、ライスナー＝ノルストロムおよびdSブラックホールを含む他の静的ブラックホールへの分析を拡張すること。

提案手法

• シュバルツシルトブラックホールの文脈においてアイランド式 $ S(R) = \min_\mathcal{I} \left[ \frac{\text{Area}(\partial\mathcal{I})}{4G} + S_{\text{matter}}(R \cup \mathcal{I}) \right] $ を分析すること。
• エントロピー式 $ S_\mathcal{I} = \frac{2\pi r_h^2}{G} + \frac{c}{6} \frac{b - r_h}{r_h} + \frac{c}{6} \log \left( \frac{16 r_h^3 (b - r_h)^2}{G^2 b} \right) $ を検討し、特に $ \frac{c b}{6 r_h} $ 項に注目すること。
• 小スケールの $ r_h $ において $ \frac{c b}{6 r_h} $ 項が支配的となり、$ r_h \to 0 $ に伴いエントロピーが無限に増大することを特定し、最小化がその発散を抑制しないこと。
• 経路積分の $ G $-展開とレプリカトリックを用いてアイランド式を導出し、背景計量が $ G $ に依存することにより、小スケールの $ G $ で特異な振る舞いが生じることに注意すること。
• クラスクァル座標の特異性を回避するため、熱的座標による正則化を適用し、蒸発の最終段階におけるエントロピーの有限評価を可能にすること。
• アイランド位置 $ a $ における最小化条件 $ \frac{dS}{da} = 0 $ を数値的に解き、正則化スキームにおいても $ \mu \to 0 $ のときエントロピーが特異のまま残ることを示すこと。

Figure 2 : The island configuration for two-sided black hole considered in [ 41 ] .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 蒸発するシュバルツシルトブラックホールに対して、アイランド式は有界なエンタングルメントエントロピーをもたらすか？
• RQ2 アイランドエントロピー式における $ \frac{c b}{6 r_h} $ 項の起源は何か？ なぜこれが無限大増大を引き起こすのか？
• RQ3 標準的な量子極小表面規定が、特にクラスクァル座標において小スケールブラックホール質量でなぜ失敗するのか？
• RQ4 熱的座標による正則化は、$ r_h \to 0 $ におけるアイランドエントロピーの特異性を解消できるか？
• RQ5 無限大エントロピーの振る舞いは、ライスナー＝ノルストロムやdSブラックホールなどの他の静的ブラックホールに対しても一般化可能か？

主な発見

• ブラックホール質量が減少するにつれて、アイランド構成におけるエンタングルメントエントロピーは $ \frac{c b}{6 r_h} $ 項が支配的になるため、無限に増大する。
• この $ \frac{c b}{6 r_h} $ 項はアイランド式における物質エントロピー寄与に起因し、$ r_h \to 0 $ の極限で特異的であり、エントロピーが有界であるという仮定を無効にしている。
• 導出に用いられたクラスクァル座標系は、小スケールの $ G $ または $ r_h $ で特異的となり、エントロピー計算に物理的でない振る舞いをもたらしている。
• アイランド位置 $ a $ の最小化により $ a \approx r_h $ が得られるが、物質エントロピー項の $ 1/r_h $ 発散は抑制されない。
• 熱的座標による正則化により特異性が除去され、$ r_h \to 0 $ の極限においてもエントロピーの有限評価が可能となり、一貫したエントロピー計算への道筋が示唆される。
• 無限大エントロピーの振る舞いはシュバルツシルトブラックホールに特有ではない。同様の問題はライスナー＝ノルストロム、dS、および他の静的ブラックホールに対しても生じ、アイランドプログラム全体に広がる問題である。

Figure 3 : Dependence of $S_{Island}$ on $M$ (green lines). The dashed lines show $S^{\prime}_{Island,M}$ . The red dashed line shows the location of the Planck mass.