[論文レビュー] A note on linear codes and nonassociative algebras obtained from skew-polynomial rings

Susanne Pumpluen|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非可換代数 $S_f$ を Petit の構成により歪多項式環から導出することで、$σ$-等長的、理想 $σ$-コード、モジュール $σ$-コードといったさまざまな線形コードの構成を統一する。主な結果は、$ \mathbb{F}_q$ 上の長さ $m$ の線形コードが定数 $d$ を持つ $σ$-等長的であるための必要十分条件が、歪多項式表現が $ \mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で $f = t^m - d$ のモニック右因子によって生成される $S_f$ の左イデアルをなすことである。これは、非可換構造を用いたコード構成の統一的代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Different approaches to construct linear codes using skew polynomials can be unified by using the nonassociative algebras built from skew-polynomial rings by Petit.

研究の動機と目的

• 歪多項式環から得られるさまざまな線形コードの構成法を、一つの代数的枠組みに統一すること。
• 等長的、理想、モジュールといったさまざまなタイプの $\sigma$-コードが、すべて非可換代数 $S_f$ 内の左イデアルであることを示すこと。
• 線形コードが $\sigma$-等長的であるための必要十分条件を、歪多項式表現と代数 $S_f$ を用いて確立すること。
• $f = t^m - d$ の両側性と、それがコードの存在と構造に与える影響を明確にすること。

提案手法

• 右除法を用いて $f$ で割った余りを取る演算で定義される乗法を備えた非可換代数 $S_f = R_m$ を構成する。ここで $R = \mathbb{F}_q[t;\sigma,\delta]$ かつ $\deg(f) = m$ である。
• Petit の構成を用いて、次数が $m$ より小さい多項式の集合に、右除法 $g \circ h = gh \mod_r f$ を用いて非可換代数構造を定義する。
• $S_f$ 内の左イデアルを、$f$ の右因子によって生成されることで特徴づけ、コード構造と直接結びつける。
• 歪多項式環の左および右除法アルゴリズムの理論を用いて、表現の存在と一意性を保証する。
• コードのベクトルを $\mathbb{F}_q[t;\sigma]/(f)$ の元として歪多項式表現することで、$S_f$ の元による左乗法に関しての閉包性を分析する。
• 条件 $f = t^m - d$ が $\mathrm{Fix}(\sigma)$ に属し、$m$ が $\sigma$ の位数を割るとき、$f$ が両側的であることに基づき、$\sigma$-等長的コードと $S_f$ 内の左イデアルとの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪多項式環から得られる $\sigma$-コード（例：等長的、理想、モジュール）の異なる構成法は、一つの代数的構造に統一可能か？
• RQ2 長さ $m$ の $\mathbb{F}_q$ 上の線形コードが $\sigma$-等長的であるための明確な代数的条件は何か？
• RQ3 歪多項式環から構成された非可換代数 $S_f$ は、$\sigma$-コードの構造とどのように関係しているか？
• RQ4 いつ $f = t^m - d$ が $\mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で両側的になるか？ そして、それはコード構成にどのような影響を与えるか？
• RQ5 いつ $f = t^m - d$ が $\mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で既約になるか？ そして、その場合の非自明な $\sigma$-コードの存在に与える影響は何か？

主な発見

• 長さ $m$ の $\mathbb{F}_q$ 上の線形コード $\mathcal{C}$ が定数 $d$ を持つ $\sigma$-等長的であるための必要十分条件は、$\mathcal{C}$ の歪多項式表現 $\mathcal{C}(t)$ が、$\mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で $f = t^m - d$ のモニック右因子によって生成される非可換代数 $S_f$ の左イデアルであるということである。
• Petit の方法による $S_f$ の構成は、統一的枠組みを提供する：$f$ が可約であるとき、すべての $\sigma$-コード（等長的、理想、モジュール）は $S_f$ 内の左イデアルとして現れる。
• $f = t^m - d$ の両側性は、$m$ が $\sigma$ の位数を割り、$d \in \mathrm{Fix}(\sigma)$ であることと同値であり、これにより $S_f$ が可換になり、$f$ が可約になることが保証される。
• 長さ $m$ が素数であり、$\mathrm{Fix}(\sigma)$ に $m$ 次の原始根が含まれるとき、$f = t^m - d$ が $\mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で可約であるための必要十分条件は、$d$ が $\mathbb{F}_q$ のある $z$ の $\sigma$-像のノルム類似積であることである。
• もし $f = t^m - d$ が $\mathbb{F}_q[t;\sigma]$ 内で既約であれば、$S_f$ は有限除法代数（半体）であり、唯一の $\sigma$-等長的コードは自明な $[m,m]$-コードと全空間である。
• $K/F$ が次数 $m$ のガロア拡大であり、$d \notin F$ のとき、非可換代数 $S_f$ は $K/F$ に関する巡回代数 $(K/F, \sigma, d)$ に同型である。これにより、コード理論と有限半体、スプレッドの理論が結びつく。