[論文レビュー] A note on local higher regularity in the dynamic linear relaxed micromorphic model

Sebastian Owczarek, Ionel‐Dumitrel Ghiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2020

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、差分商に対するエネルギー推定を適用することにより、動的線形緩和ミクロ弾性モデルにおける解の局所的高階正則性を確立する。滑らかな初期データの仮定の下で、変位場 𝑢 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻²_loc(Ω)) に属し、微小歪みテンソル 𝑃 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹_loc(Ω)) に属し、Curl 𝑃 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹(Ω)) に属する。これは自然な H¹ および H(Curl) 正則性を著しく上回る結果である。

ABSTRACT

We consider the regularity question of solutions for the dynamic initial-boundary value problem for the linear relaxed micromorphic model. This generalized continuum model couples a wave-type equation for the displacement with a generalized Maxwell-type wave equation for the micro-distortion. Naturally solutions are found in ${ m H}^1$ for the displacement $u$ and ${ m H}({ m Curl})$ for the microdistortion $P$. Using energy estimates for difference quotients, we improve this regularity. We show ${ m H}^1_{ m loc}$-regularity for the displacement field, ${ m H}^1_{ m loc}$-regularity for the micro-distortion tensor $P$ and that ${ m Curl}\,P$ is ${ m H}^1$-regular if the data is sufficiently smooth.

研究の動機と目的

• 動的初期境界値問題における線形緩和ミクロ弾性モデルの解の改善された局所的正則性を確立すること。
• 有限要素法における数値収束のギャップを埋めるために、解場の高階正則性を証明すること。
• 動的定式化が静的場合と比較して微小歪み場に対してより良い制御を提供することを示すこと。
• 滑らかな初期データのもとで、自然な H(Curl) 環境を超えて微小歪みテンソル 𝑃 の正則性を 𝐻¹_loc(Ω) にまで拡張すること。
• 動的モデルにおける運動エネルギーが、𝑃 のすべての弱微分を局所的に L² で制御できることを示すこと。

提案手法

• 変位 𝑢 および微小歪み 𝑃 の差分商に対してエネルギー推定を適用すること。
• 領域のコンact部分集合への局所化のために重み付きカットオフ関数 η を用いること。
• 𝑢𝑡, 𝑃𝑡 およびそれらの差分商を含む時間微分エネルギー恒等式を導出すること。
• 時間積分とグローヴァルの不等式を用いてエネルギーをバインドすること。
• 特に Curl Curl 𝑃 項を活用して、高階微分を制御する緩和ミクロ弾性方程式の構造を活用すること。
• コルンの不等式およびベクトル解析の恒等式を用いて、𝑢 および 𝑃 の弱微分をエネルギー推定に結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的緩和ミクロ弾性モデルにおいて、変位場 𝑢 の正則性は H¹_loc(Ω) を超えて向上させられるか？
• RQ2 初期データが十分に滑らかであれば、微小歪みテンソル 𝑃 は、あらかじめ H(Curl; Ω) に属するものの、𝐻¹_loc(Ω) 正則性を達成できるか？
• RQ3 動的設定においてエネルギー推定を用いることで、微小歪みの時間微分 𝑃𝑡 は 𝐻¹_loc(Ω) で制御可能か？
• RQ4 動的定式化は、静的場合と比較して、𝑃 の弱微分に対してどの程度優れた制御を提供するか？
• RQ5 Curl Curl 𝑃 項の存在が、解場の正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 初期微小歪み 𝑃(0) が 𝐻¹_loc(Ω) に属するという仮定の下で、変位場 𝑢 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻²_loc(Ω)) に属する。
• 初期データが十分に滑らかであれば、微小歪みテンソル 𝑃 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹_loc(Ω)) に属する。
• すべての 𝑇 > 0 に対して、微小歪みのカール、Curl 𝑃 は 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹(Ω)) に属する。
• 差分商に対するエネルギー推定とグローヴァルの不等式を組み合わせることで、差分商のステップサイズに依存しない一様なバインドが得られる。
• 改善された正則性は、高階微分を制御する運動エネルギー項を含む動的定式化に起因する。
• この結果は、領域内部で H¹ × H¹ 有限要素を用いた標準的な FEM 実装の収束を正当化する。