[論文レビュー] A Note on Long non-Hamiltonian Cycles in One Class of Digraphs

Samvel Kh. Darbinyan, Iskandar A. Karapetyan|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Bang-Jensen, Guo, and Yeoの定理における次数条件（非隣接ペアで共通のイン・ネイバーまたはアウト・ネイバーを持つ場合に、$ d(x)+d(y) \geq 2n-1 $ かつ $ \min\{d^+(x)+d^-(y), d^-(x)+d^+(y)\} \geq n-1 $ を満たす）を満たす $ n \geq 4 $ 頂点の強い有向グラフについて、それが有向サイクルでない限り、長さ $ n-1 $ または $ n-2 $ のサイクルを含むことを確立する。この結果は、ハミルトン性の十分条件を強化し、ハミルトンでない場合でも長さの長い非ハミルトニアン・サイクルが存在することを示している。

ABSTRACT

Let $D$ be a strong digraph on $n\geq 4$ vertices. In [3, Discrete Applied Math., 95 (1999) 77-87)], J. Bang-Jensen, Y. Guo and A. Yeo proved the following theorem: if (*) $d(x)+d(y)\geq 2n-1$ and $min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n-1$ for every pair of non-adjacent vertices $x, y$ with a common in-neighbour or a common out-neighbour, then $D$ is hamiltonian. In this note we show that: if $D$ is not directed cycle and satisfies the condition (*), then $D$ contains a cycle of length $n-1$ or $n-2$.

研究の動機と目的

• Bang-Jensen, Guo, and Yeoの定理の次数条件を満たすがハミルトニアンでない強い有向グラフの構造を調査すること。
• このようなグラフが依然として長さ $ n-1 $ や $ n-2 $ の長さのサイクルを含むかどうかを特定すること、これはハミルトニアン性の代替としての長さの長いサイクルの存在を意味する。
• 非パンシクル有向グラフが定理Cの条件を満たす場合、$ n-1 $-サイクルを含むべきであるという予想を支持すること、ただし極端な場合を除く。
• 半次数および次数制約の下で、良いペアの分析とサイクル拡張の精査を refining することにより、既存の有向グラフにおける長サイクルに関する結果を拡張すること。

提案手法

• ハミルトニアンでない強い有向グラフ $ D $ において、長さ $ m < n $ の最大サイクル $ C $ が存在すると仮定し、背理法を用いる。
• 共通のイン・ネイバーまたはアウト・ネイバーを持つ頂点ペア $ \{x,y\} $ を定義し、それらの解析を通じて構造的制約を導出する。
• 次数の上限と近傍集合の包含関係（例：$ N^-(u_2, C) = \{x_1, \dots, x_j\} $）を用いて、弧の数や近傍集合に関する不等式を導出する。
• 弧 $ u_2x_2 $, $ x_2u_2 $, $ u_{s-1}u_2 $ の有無に基づく場合分けを行い、$ C $ の最大性から矛盾を導出する。
• 補題1（共通近傍に関するもの）および補題2（弧の分布に関するもの）を用いて、近傍集合を制限し、次数条件が満たされない場合に矛盾を導出する。
• 共通のイン・ネイバーまたはアウト・ネイバーを持つペアに対して、$ d(x)+d(y) \geq 2n-1 $ および $ \min\{d^+(x)+d^-(y), d^-(x)+d^+(y)\} \geq n-1 $ を適用し、$ C $ の最大性に反する弧の密度を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての強い有向グラフが定理Cの次数条件を満たし、かつ有向サイクルでない場合、長さ $ n-1 $ または $ n-2 $ のサイクルを含むとは限らないか？
• RQ2 ハミルトニアンでないが定理Cのハミルトニアンの十分条件を満たす有向グラフにおいて、どのような構造的性質が長さの長い非ハミルトニアン・サイクルの存在を強制するか？
• RQ3 与えられた次数制約の下で、このようなグラフがパンシクルであるか、または $ n-1 $-サイクルを含むという予想は確認可能か？
• RQ4 完全なハミルトニアン・サイクルが存在しない場合、半次数および近傍集合の分布は、長サイクルの存在にどのように制約を加えるか？

主な発見

• $ n \geq 4 $ 頂点を持つ強い有向グラフ $ D $ が定理Cの次数条件を満たし、かつ有向サイクルでない場合、$ D $ は長さ $ n-1 $ または $ n-2 $ のサイクルを含む。
• 最大サイクル $ C $ の長さが $ m < n $ であると仮定すると、良いペアと弧の分布の解析を通じて、与えられた次数条件のもとで矛盾が生じることを証明した。
• 最大サイクル $ C $ の長さが $ m < n $ であるという仮定の下で、頂点 $ u_2 $, $ x_{i-1} $, $ x_{j+1} $ の次数の上限が破られる場合に矛盾が生じる。
• 近傍集合の制約 $ d(x_{i-1}, C^{\prime\prime}) \leq |C^{\prime\prime}| + 1 $ が、次数和条件と組み合わせられると矛盾を引き起こす。
• 弧 $ u_2x_2 $ が存在しない場合（$ d^+(u_2, C[x_3,x_1]) = 0 $）、$ C $ 内のイン・次数が不十分となり、次数和条件に反する。
• 弧集合のすべての可能な構成（例：$ x_2u_2 \in D $, $ u_2x_2 \in D $, $ u_{s-1}u_2 \in D $）を分析した結果、それぞれが矛盾を引き起こし、長サイクルの存在を証明した。