[論文レビュー] A Note on M-convex Functions on Jump Systems

Kazuo Murota|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、より広いクラスのジャンプシステムにおけるジャンプ M-凸関数の一般化であるジャンプ M♮-凸関数を導入し、その性質を特徴づける。本稿は、n 個の変数におけるジャンプ M♮-凸関数を n+1 個の変数におけるジャンプ M-凸関数へ単射埋め込みすることを確立し、それらの同値性を証明することで、既知の結果の移行を可能にする。さらに、ジャンプ M♮-凸関数が集約、射影、畳み込み、合成、ネットワーク変換といった主要な演算に関して閉じていることを示している。

ABSTRACT

A jump system is defined as a set of integer points (vectors) with a certain exchange property, generalizing the concepts of matroids, delta-matroids, and base polyhedra of integral polymatroids (or submodular systems). A discrete convexity concept is defined for functions on constant-parity jump systems and it has been used in graph theory and algebra. In this paper we call it "jump M-convexity" and extend it to "jump M-natural-convexity" for functions defined on a larger class of jump systems. By definition, every jump M-convex function is a jump M-natural-convex function, and we show the equivalence of these concepts by establishing an (injective) embedding of jump M-natural-convex functions in n variables into the set of jump M-convex functions in n+1 variables. Using this equivalence we show further that jump M-natural-convex functions admit a number of natural operations such as aggregation, projection (partial minimization), convolution, composition, and transformation by a network.

研究の動機と目的

• 定数パリティを持つジャンプシステムから、同時交換性を満たすより広いクラスのジャンプシステムへ M-凸性の概念を拡張すること。
• ジャンプ M♮-凸関数を定義し、M-凸関数およびバリュエートド・デルタマトロイドの概念を一般化してその性質を研究すること。
• 1 つの次元が高い空間への単射埋め込みを用いて、ジャンプ M♮-凸関数とジャンプ M-凸関数の同値性を確立すること。
• 集約、射影、畳み込み、合成、ネットワーク変換といった基本的演算がジャンプ M♮-凸関数に関して保存されることを示すこと。
• 既存のジャンプ M-凸関数に関する結果を、より広いクラスのジャンプ M♮-凸関数へ応用可能にするための基盤を提供すること。

提案手法

• 同時交換性を満たすジャンプシステム上でジャンプ M♮-凸関数の概念を導入し、M-凸性を一般化する。
• n 個の変数におけるジャンプ M♮-凸関数を n+1 個の変数におけるジャンプ M-凸関数へ単射埋め込みを定義し、同値性を証明する。
• 埋め込みを用いて、ジャンプ M-凸関数に関する既知の構造的およびアルゴリズム的結果をジャンプ M♮-凸関数へ移行する。
• 埋め込みとジャンプ M-凸関数に関する既知の結果を用いて、集約、射影（部分最小化）、畳み込み、合成、ネットワーク変換などの演算を分析する。
• 定理 4.7 を用いて畳み込みに関して閉じていることを証明し、2 つのジャンプ M♮-凸関数の下界畳み込みが依然としてジャンプ M♮-凸関数であることを示す。
• 定理 4.12 を用いてネットワーク変換に関して閉じていることを確立し、弧コスト関数が凸であるネットワークによる変換により、ジャンプ M♮-凸関数が再びジャンプ M♮-凸関数となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数パリティを持つジャンプシステムを超えるより広いクラスのジャンプシステムへ M-凸性を拡張する方法は存在するか？
• RQ2 ジャンプ M♮-凸関数を次元が 1 高い空間におけるジャンプ M-凸関数へ埋め込むことは可能か？
• RQ3 集約、射影、畳み込み、合成、ネットワーク変換といった基本的演算がジャンプ M♮-凸性に関して保存されるか？
• RQ4 ジャンプ M♮-凸性とジャンプ M-凸性の同値性は、後者に関する既知の結果を前者へ移行可能であることを示唆するか？
• RQ5 ネットワーク変換により、ジャンプシステム上に定義された関数の M♮-凸性が保持されるか？

主な発見

• ジャンプ M♮-凸関数は、n+1 個の変数への単射埋め込みを用いてジャンプ M-凸関数と同値であり、1 対 1 の対応関係が確立される。
• すべてのジャンプ M-凸関数はジャンプ M♮-凸関数であり、逆に埋め込み構成により、ジャンプ M♮-凸関数はジャンプ M-凸関数に還元可能である。
• 埋め込みとジャンプ M-凸関数に関する既知の結果を用いて、ジャンプ M♮-凸関数が集約に関して閉じていることが示される。
• 定理 4.7 により、2 つのジャンプ M♮-凸関数の畳み込みは、自身もジャンプ M♮-凸関数であることが証明された。
• 定理 4.12 により、弧コスト関数が凸であるネットワークによるジャンプ M♮-凸関数の変換は、再びジャンプ M♮-凸関数を生成する。
• ジャンプ M♮-凸関数の分割（スプリット）もジャンプ M♮-凸関数であることが示され、ジャンプ M-凸関数に関する結果がより広いクラスへ拡張された。