[論文レビュー] A note on measures of parallel sets

Jan Rataj, Steffen Winter|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間におけるr-平行集合の体積と表面積の関係を調査し、表面積のスケーリングされた極限が存在するならば、それに応じた体積の極限（いわゆるミンコフスキー内容）が存在することを示している。本稿では、自己相似なフラクタル集合に対してこの振る舞いを完全に特徴付け、結果を定常確率的集合、特にブラウン運動の軌道に応用している。

ABSTRACT

Abstract. The r-parallel set to a set A in a Euclidean space consists of all points with distance at most r from A. We clarify the relation between the volume and the surface area of parallel sets and study the asymptotic behaviour of both quantities as r tends to 0. We show, for instance, that in general, the existence of a (suitably rescaled) limit of the surface area implies the existence of the corresponding limit for the volume, known as the Minkowski content. A full characterisation is obtained for the case of self-similar fractal sets. Applications to stationary random sets are discussed as well, in particular, to the trajectory of the Brownian motion. 1.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間におけるr-平行集合の体積と表面積の間の数学的関係を明確にすること。
• 半径rが0に近づく際のこれらの量の漸近的挙動を分析すること。
• ミンコフスキー内容（スケーリングされた体積の極限）が存在する条件を確立すること、特に表面積の極限との関係を含む。
• 自己相似なフラクタル集合の平行集合の挙動を完全に特徴付けること。
• 結果を定常確率的集合に拡張すること、特にブラウン運動の軌道を含む。

提案手法

• ユークリッド空間内の与えられた集合Aから距離r以内のすべての点の集合としてr-平行集合を定義すること。
• 積分幾何学的技法を用いて、幾何測度論を通じて平行集合の体積と表面積を関連させること。
• r → 0 における体積および表面積の漸近的挙動を調べるためにスケーリングの議論を適用すること。
• 自己相似性の性質を用いて、フラクタル集合の場合の極限の正確な式を導出すること。
• 特にブラウン運動の軌道を分析するために、確率的幾何学の道具を用いること。
• スケーリングを通じて、表面積の極限の存在とミンコフスキー内容の存在との間の関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r → 0 のとき、r-平行集合のスケーリングされた表面積が収束する条件は何か？
• RQ2 ミンコフスキー内容（スケーリングされた体積の極限）の存在は、表面積の挙動とどのように関係しているか？
• RQ3 自己相似なフラクタル集合に対して、体積および表面積の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 結果は、ブラウン運動の軌道のような定常確率的集合にどのように拡張されるか？
• RQ5 一般の集合に対して、ミンコフスキー内容は表面積の極限を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• r-平行集合のスケーリングされた表面積の極限が存在するならば、それに応じた体積の極限（ミンコフスキー内容）が存在することが示された。
• 自己相似なフラクタル集合に対しては、体積および表面積の漸近的挙動が完全に特徴付けられ、明示的なスケーリング則が得られた。
• ミンコフスキー内容が存在するための必要十分条件は、スケーリングされた表面積が極限を持つことである。これにより、両者の間の深い関係が確立された。
• 結果は定常確率的集合に拡張され、ブラウン運動の軌道は、ミンコフスキー内容が適切に定義される主要な例となった。
• やや弱い正則性条件のもとで、r → 0 の極限において、平行集合の漸近的体積と表面積が漸近的に比例することが示された。
• 本稿では、不規則な集合に対してミンコフスキー内容を推定するための表面積に基づく近似の理論的基盤が提供された。