[論文レビュー] A note on multiple Dirichlet's q-L--function

Taekyun Kim|ArXiv.org|Jun 9, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、原始的ディリクレ指標 $ \chi $ に付随する一般化された多重 $ q $-ベルヌーイ数を負の整数で補間する多重ディリクレ $ q $-L 関数を構成する。$ q $-アナログの多重ベルヌーイ多項式および $ q $-整数を用いて、関数方程式と解析接続を導出し、$ s = 1, \dots, r $ に極を持つメロモルフィックな接続を確立する。さらに、$ L $-関数が $ L_q^r(-n, \chi) = (-1)^r \frac{n!}{(n+r)!} \beta_{n+r,\chi,q}^{(r)} $ を満たし、直接的に $ q $-ベルヌーイ数と関連づけられることを示している。

ABSTRACT

Recently, the two variable $q$-$L$-functions which interpolate the generalized $q$-Bernoulli polynomials associated with $χ$ are introduced and studied, cf. [2]. In this paper, we construct multiple Dirichlet's $q$-$L$-function which interpolates the generalized multiple $q$-Bernoulli numbers attached to $χ$ at negative integer and study its properties.

研究の動機と目的

• 多重変数への $ q $-L 関数の理論の拡張として、多重ディリクレ $ q $-L 関数の構成。
• 多重 $ q $-L 関数と原始的ディリクレ指標 $ \chi $ に付随する一般化された多重 $ q $-ベルヌーイ数との関係の確立。
• 複素平面上における多重 $ q $-L 関数の解析接続およびメロモルフィック性の研究。
• 関数方程式および特殊値と $ q $-ベルヌーイ数との関係を示す補間公式の導出。

提案手法

• 生成関数を用いた $ q $-指数関数および $ q $-整数を含む、多重一般化 $ q $-ベルヌーイ数 $ \beta_{n,\chi,q}^{(r)} $ の定義。
• 係数に指標を重み付けした $ q $-整数上のディリクレ級数として、多重ディリクレ $ q $-L 関数 $ L_q^r(s, \chi) $ の構成。
• ガンマ関数を用いた積分表現を用いて、$ L $-関数と $ q $-ベルヌーイ数の生成関数との関係を確立。
• 導出関数 $ H_{r,q}(s; a_1,\dots,a_r|F) $ を用いて、導体 $ F $ に関する剰余類ごとの和に $ L $-関数を表現。
• 二項展開および $ q $-ベルヌーイ多項式 $ B_{k,q}^{(r)}(x) $ を用いて、$ L_q^r(s, \chi) $ の閉形式表現を導出。
• 解析接続および留数評価を用いて、$ L_q^r(-n, \chi) = (-1)^r \frac{n!}{(n+r)!} \beta_{n+r,\chi,q}^{(r)} $ の補間性質を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的ディリクレ指標 $ \chi $ に付随する多重 $ q $-ベルヌーイ数を負の整数で補間する多重 $ q $-L 関数を構成可能か？
• RQ2 多重 $ q $-L 関数の解析的構造は何か？その極はどこにあるか？
• RQ3 多重 $ q $-L 関数は $ q $-ベルヌーイ多項式および $ q $-整数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 多重 $ q $-L 関数に対して、関数方程式または $ q $-特殊関数を用いた閉形式表現が存在するか？
• RQ5 $ p $-進 $ L $-関数と同様に、多重 $ q $-L 関数の $ p $-進類似を構成可能か？

主な発見

• 多重ディリクレ $ q $-L 関数 $ L_q^r(s, \chi) $ は $ \mathbb{C} $ 上でメロモルフィックであり、$ s = 1, 2, \dots, r $ に極を持つ。
• 関数はすべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して補間性質 $ L_q^r(-n, \chi) = (-1)^r \frac{n!}{(n+r)!} \beta_{n+r,\chi,q}^{(r)} $ を満たす。
• $ L $-関数は剰余類に関する和として表現可能である：$ L_q^r(s, \chi) = \sum_{a_1,\dots,a_r=1}^F \chi(a_1+\cdots+a_r) H_{r,q}(s; a_1,\dots,a_r|F) $。
• 補助関数 $ H_{r,q}(s; a_1,\dots,a_r|F) $ は二項係数および $ q $-ベルヌーイ数を含む閉形式表現を持つ：$ H_{r,q}(s; a_1,\dots,a_r|F) = \frac{1}{[F]_q^r} \frac{[\sum a_i]_q^{-s+r}}{\prod_{j=1}^r (s-j)} \sum_{k=0}^\infty \binom{-s+r}{k} \left( \frac{[F]_q}{[\sum a_i]_q} \right)^k q^{(\sum a_i)k} B_{k,q}^{(r)} $。
• 多重 $ q $-ベルヌーイ数は $ \beta_{n,\chi,q}^{(r)} = [F]_q^n \sum_{a_1,\dots,a_r=1}^F \chi(a_1+\cdots+a_r) B_{n,q^F}^{(r)}\left( \frac{a_1+\cdots+a_r}{F} \right) $ を満たす。
• 本稿では、多重 $ q $-L 関数の $ p $-進類似の可能性が示唆されており、既知の $ p $-進 $ L $-関数と同様に、そのような $ p $-進補間が存在するかという疑問が提起されている。