[論文レビュー] A note on new type degenerate Bernoulli numbers

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2020

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ひとこと要約

本稿では、古典的ポリログ関数を一般化する新しい非正則多項式対数関数を用いて、非正則ポリベルヌーイ数と呼ばれる非正則ベルヌーイ数の新クラスを導入する。著者らは、生成関数、漸化式、非正則スターリング数との関係を導出し、非正則特殊関数を統一する枠組みを確立するとともに、古典的ベルヌーイ理論を非正則設定に拡張し、明示的な算術的恒等式を提示する。

ABSTRACT

Studying degenerate versions of various special polynomials have become an active area of research and yielded many interesting arithmetic and combinatorial results. Here we introduce a degenerate version of polylogarithm function, called the degenerate polylogarithm function. Then we construct new type degenerate Bernoulli polynomials and numbers, called degenerate poly-Bernoulli polynomials and numbers,by using the degenerate polylogarithm function and derive several properties on the degenerate poly-Bernoulli numbers

研究の動機と目的

• ポリログ関数の非正則版を定義し、新規特殊関数の基礎を築くこと。
• 非正則ポリログ関数を用いて、非正則ポリベルヌーイ数と呼ばれる新種の非正則ベルヌーイ多項式および数を定義し、それらを研究すること。
• 非正則ポリベルヌーイ数の生成関数および漸化式を確立すること。
• 非正則ポリベルヌーイ数と第一および第二種の非正則スターリング数との関係を調査すること。
• 極限過程および組合せ的恒等式を用いて、古典的ベルヌーイ数の恒等式を非正則設定に一般化すること。

提案手法

• 古典的ポリログ関数を一般化する非正則多項式対数関数を定義する：$ l_{k,\nu}(x) = \textstyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-\lambda)^{n-1}(1)_{n,1/\lambda}}{(n-1)!n^k}x^n $（$ |x|<1 $）。
• 非正則指数関数の逆関数としての非正則対数関数 $ \log_\lambda(1+t) = \frac{1}{\lambda}((1+t)^\lambda - 1) $ を用い、関数の逆転および級数展開を可能にする。
• 生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty \beta_{n,\lambda}^{(k)}\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{1 - e_\lambda(-t)} l_{k,\lambda}(1 - e_\lambda(-t)) $ を用いて、非正則ポリベルヌーイ数を定義する。
• 非正則スターリング数第二種 $ S_{2,\lambda}(n,m) $ を用いて $ (1 - e_\lambda(-t))^n $ を表現することで、漸化式を導出する。
• 生成関数の合成を用いて、非正則ポリベルヌーイ数と第一種非正則スターリング数 $ S_{1,\lambda}(n,k) $ の関係を確立する。
• 生成関数の恒等式 $ \sum_{n=0}^\infty \beta_{n,\lambda}^{(k)}\frac{(-1)^n}{n!} \log_\lambda(1-t)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\lambda)^n (1)_{n+1,1/\lambda}}{n!(n+1)^k} t^n $ を適用し、明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ポリログ関数は、重要な解析的および算術的性質を保つ非正則版にどのように一般化できるか？
• RQ2 非正則ポリログ関数を用いて定義された新規非正則ベルヌーイ数の構造的および算術的性質は何か？
• RQ3 非正則ポリベルヌーイ数は、第一および第二種の非正則スターリング数とどのように関係しているか？
• RQ4 生成関数および組合せ的恒等式を用いて、非正則ポリベルヌーイ数の漸化式または明示的公式をどのように導出できるか？
• RQ5 極限 $ \lambda \to 0 $ において、古典的ベルヌーイ数の恒等式はどのように回復され、どのように一般化されるか？

主な発見

• 非正則ポリベルヌーイ数 $ \beta_{n,\lambda}^{(k)} $ は、生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty \beta_{n,\lambda}^{(k)}\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{1 - e_\lambda(-t)} l_{k,\lambda}(1 - e_\lambda(-t)) $ により定義され、古典的ベルヌーイ数の生成関数を一般化する。
• $ k=1 $ の場合、生成関数は $ \sum_{n=0}^\infty \beta_{n,\lambda}^{(1)}\frac{t^n}{n!} = \frac{-t}{e_\lambda(-t) - 1} $ に簡略化され、非正則ベルヌーイ数 $ \beta_{n,\lambda} $ を回復する。
• 恒等式 $ (-1)^{n-1} \sum_{m=1}^n (1)_{m,1/\lambda} \lambda^{m-1} S_{2,\lambda}(n,m) = \delta_{n,1} $ が成り立ち、古典的恒等式 $ B_n(1) - B_n = \delta_{n,1} $ の非正則版を示している。
• 明示的公式 $ \frac{1}{(n+1)^k} = \frac{1}{\lambda^n (1)_{n+1,1/\lambda}} \sum_{m=0}^n (-1)^m \beta_{m,\lambda}^{(k)} S_{1,\lambda}(n,m) $ により、非正則ポリベルヌーイ数と第一種非正則スターリング数との関係が確立される。
• 漸化式 $ S_{1,\lambda}(n+1,k) = S_{1,\lambda}(n,k-1) + (\lambda k - n) S_{1,\lambda}(n,k) $ は、第一種スターリング数の古典的漸化式を一般化する。
• 極限 $ \lambda \to 0 $ において、非正則ポリベルヌーイ数は $ \lim_{\lambda \to 0} \beta_{n,\lambda}^{(1)} = (-1)^n B_n $ を満たし、古典的ベルヌーイ数が回復される。