[論文レビュー] A note on Newtonian, Lagrangian and Hamiltonian dynamical systems in Riemannian manifolds

Руслан Шарипов|ArXiv.org|Jul 30, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上のニュートン系、ラグランジュ系、ハミルトニアン系を、拡張されたベクトル場およびテンソル場を用いて幾何的枠組みとして構築する。これにより、力や運動の座標不変記述が可能になる。逆問題として、球対称ラグランジュ関数を持つニュートン系がラグランジュ形式をもつための条件を特定し、特に力場が関数 $ f(x^1,\ldots,x^n) $ を介して計量と等角的に関係する場合に限って部分的解決を提示する。

ABSTRACT

Newtonian, Lagrangian, and Hamiltonian dynamical systems are well formalized mathematically. They give rise to geometric structures describing motion of a point in smooth manifolds. Riemannian metric is a different geometric structure formalizing concepts of length and angle. The interplay of Riemannian metric and its metric connection with mechanical structures produces some features which are absent in the case of general (non-Riemannian) manifolds. The aim of present paper is to discuss these features and develop special language for describing Newtonian, Lagrangian, and Hamiltonian dynamical systems in Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上でのニュートン系、ラグランジュ系、ハミルトニアン系を統一的に記述する幾何的言語の欠如に応えること、特にリーマン構造（計量および接続）が関与する場合を含む。
• 局所座標における2階加速度が接ベクトルとして変換されないという制限を克服し、接 bundle $ TM $ 上での再定式化を図ること。
• 拡張されたベクトル場を用いた一貫性のある形式的記述を構築し、リーマン幾何学と整合する形で力と速度を記述することで、スカラー積やノルムを可能にする。
• 与えられたニュートン系がラグランジュ構造をもつかどうかを特定するラグランジュ力学の逆問題を、ファイバーごとに球対称なラグランジュ関数のクラスに限定して取り扱うこと。
• ある種の力場に対して、超曲面の法線方向のずれを許容する場合に、この逆問題に対する構成的解決を提示し、その結果を等角幾何と関連付けること。

提案手法

• リーマン多様体 $ M $ 上に、接 bundle $ TM $ の点から接空間 $ T_pM $ の接ベクトルへ写像する拡張ベクトル場 $ \mathbb{F} $ の概念を導入し、内積やノルムなどの幾何的演算を可能にする。
• ニュートン的力学系を、$ \pi_*\boldsymbol{\Phi} = \mathbb{v} $ を満たすニュートン的ベクトル場 $ \boldsymbol{\Phi} $ で定義し、ニュートンの第二法則を共変時間微分 $ \nabla_t v^k $ を用いて再定式化する。
• リーマン接続とクリスタッエル記号を用い、局所座標で加速度を $ \nabla_t v^k = \dot{v}^k + \sum_{i,j} \Gamma^k_{ij} v^i v^j $ と表現することで、テンソル的整合性を確保する。
• $ |\mathbf{v}| $ と関数 $ C(x^1,\ldots,x^n) $ のみに依存するファイバーごとに球対称なラグランジュ関数 $ L $ の概念を導入し、逆問題の簡略化を図る。
• オイラー＝ラグランジュ方程式から力場 $ F_r $ を導出し、$ F_r = -|\mathbf{v}|^2 \nabla_r f + 2 \sum_s (\nabla_s f \, v^s) v_r $ という重要な公式を得る。ここで $ f $ は多様体 $ M $ 上のスカラー関数である。
• このような系が、$ \tilde{g} = e^{-2f} g $ と等角的にスケーリングされた計量における測地線流れと等価であることを示し、ラグランジュ構造の幾何的特徴づけを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上に定義されたニュートン的力学系が、いつラグランジュ形式をもつのか。
• RQ2 超曲面の法線方向のずれを許容する力場に対して、ラグランジュ力学の逆問題をどのように解けるか。
• RQ3 リーマン計量およびそのリーマン接続が、速度ベクトルと力ベクトルの間のスカラー積を可能にする役割は何か。
• RQ4 拡張ベクトル場の概念が、リーマン幾何学におけるニュートン系、ラグランジュ系、ハミルトニアン系を統一的に記述するにあたって果たす役割は何か。
• RQ5 どのような力場がファイバーごとに球対称なラグランジュ関数をもつのか。また、その対応する力学系の幾何的構造は何か。

主な発見

• リーマン多様体上でのニュートン的力学系における力場 $ \mathbb{F} $ は、拡張ベクトル場として一貫して定義可能であり、そのノルムや速度とのなす角を計算するなどの幾何的演算が可能になる。
• リーマン多様体上でのニュートン的力学系は、成分が $ F^k = \Phi^k + \sum_{i,j} \Gamma^k_{ij} v^i v^j $ である拡張ベクトル場 $ \mathbb{F} $ によって完全に特徴づけられる。これにより、多様体の計量および接続と整合する。
• 力場が $ F_r = -|\mathbf{v}|^2 \nabla_r f + 2 \sum_s (\nabla_s f \, v^s) v_r $ の形をしているニュートン的力学系は、ファイバーごとに球対称なラグランジュ関数をもつラグランジュ構造をもつ。
• このラグランジュ系は、$ f $ を配置多様体上の滑らかな関数として、$ \tilde{g} = e^{-2f} g $ と等角的にスケーリングされた計量における測地線流れと力学的に同等である。
• このクラスの系に対して、ラグランジュ力学の逆問題は部分的に解決される。すなわち、ニュートン的力学系がこのようなラグランジュ構造をもつための必要十分条件は、力場が式 (8.18) に示される形をしていること、すなわち計量の等角変換に対応することである。
• 力場が $ e^{-2f} $ の等角因子から生じるという条件下で、ラグランジュ関数の明示的解が $ L = \phi(|\mathbf{v}|^2) $ として得られ、ここで $ \phi $ は任意の滑らかな関数である。