[論文レビュー] A note on Noetherian type of spaces

Lajos Soukup|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コントール立方体 $2^{\aleph_\omega}$ 上の $G_\delta$ 位相 $\delta$ を備えた空間 $2^{\aleph_\omega}_\delta$ のノエーザー型を調査する。仮定 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ およびチェンの予想の亜種 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ の下で、ノエーザー型 $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ であることを証明し、スパダロの問いに答え、これらの条件下でそれが $\omega_1$ であることは不可能であることを示した。

ABSTRACT

The Noetherian type of a space X, Nt(X), is the least cardinal kappa such that X has a base B such that every element of the base is contained in less than kappa many elements of the base. Denote X the space obtained from 2^{aleph_omega} by declaring the G_delta sets to be open. Milovich proved that if Square_{aleph_omega} holds and (aleph_omega)^omega=aleph_{omega+1} then Nt(X)=omega_1. Answering a question of Spadaro, we show that if (aleph_omega)^omega=aleph_{omega+1} and a strong form of Chang Conjecture holds for aleph_ωthen Nt(X)>omega_1.

研究の動機と目的

• スパダロが提起した、$2^{\aleph_\omega}_\delta$ のノエーザー型が $\mathfrak{c}^+$ に等しいかどうかという問いを解決すること。
• 大基数の仮定と組合せ的原則の下でのノエーザー型の整合性の強さと基数的境界を調査すること。
• ミロヴィッチの先行結果 $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) = \omega_1$ を、$\square_{\aleph_\omega}$ と $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ の下で得たものから、より高い下界に拡張すること。
• チェンの予想の下で、$[\aleph_\omega]^\omega$ の共終族の構造を分析し、ノエーザー型が小さすぎる場合に矛盾を導くこと。

提案手法

• 集合論的性質 $[\aleph_\omega]^\omega$ および $G_\delta$ 位相を符号化する関係と関数を備えた構造 $\mathcal{A} = (\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega, \leq, E, f, g, h)$ を構成する。
• 仮定 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ を用いてチェンの予想を適用し、サイズ $\aleph_1$ の初等部分構造 $\mathcal{A}'$ と可算部分集合 $U'$ を得る。
• 関数 $f: \aleph_{\omega+1} \to \aleph_{\omega+1}$ を定義し、$a_\alpha \subset a_{f(\alpha)}$ かつ $a_{f(\alpha)} \in \mathcal{D}$ となるようにする。ここで $\mathcal{D}$ は $[\aleph_\omega]^\omega$ の共終族である。
• 関数 $h$ を用いて集合差 $a_\alpha \setminus a_\beta$ が無限大であることを、$\mathcal{A}$ 内の一次式として表現する。
• $\mathcal{A}'$ において、すべての $f$ の像に属する $\beta$ に対して $a_\gamma \setminus a_\beta$ が無限大であるような $\gamma$ が存在することを示し、一方で $a_{f(\gamma)} \supset a_\gamma$ であるため $a_\gamma \setminus a_{f(\gamma)} = \emptyset$ となるが、これは矛盾である。
• この矛盾を用いて、任意の共終族 $\mathcal{D}$ が、ある $A \in [\aleph_\omega]^\omega$ に対して $\mathcal{P}(A)$ と非可算に交わらなければならないことを示し、これにより $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GCH より弱いか、$\square_{\aleph_\omega}$ より強い仮定の下で、$2^{\aleph_\omega}_\delta$ のノエーザー型が $\omega_2$ で下から抑えられるか。
• RQ2 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ およびチェンの予想が成り立つとき、$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ が整合的であるか。
• RQ3 局所ノエーザー型が $\omega_1$ でないことは、$[\aleph_\omega]^\omega$ の共終族に構造的障害をもたらすか。
• RQ4 仮定 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ を用いて、$2^{\aleph_\omega}_\delta$ のノエーザー型の下界を導けるか。
• RQ5 与えられた集合論的仮定の下で、$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta)$ が $\omega_1$ よりも厳密に大きいことは可能か。

主な発見

• 仮定 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ および $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ の下で、$2^{\aleph_\omega}_\delta$ のノエーザー型は $\omega_2$ 以上である。
• 証明は、$G_\delta$ 位相を符号化した巧みな構造にチェンの予想を適用し、矛盾を導くことに依存している。
• 矛盾は、点 $x \in 2^{\aleph_\omega}$ における局所基がサイズ $\omega_1$ であると仮定したときに生じ、これは、ある共終族 $\mathcal{D} \subset [\aleph_\omega]^\omega$ が、任意の $A \in [\aleph_\omega]^\omega$ に対してのみ可算個の要素を持つことを意味する。
• この仮定は、部分構造 $\mathcal{A}'$ における初等性および定義可能性条件に反する。
• この結果により、$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ が、適切な大基数の存在の下で整合的であることが示された。[1] のモデルはこれらの仮定を満たしている。
• 論文は、スパダロの問いに答え、$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) = \mathfrak{c}^+$ は与えられた仮定から導かれないこと、むしろ $\omega_2$ で下から抑えられることを示した。