[論文レビュー] A Note on Non-Locality and Ostrogradski's Construction

Klaus Bering|ArXiv.org|Jul 24, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、オストログラツキー形式の境界問題を回避するための場の理論的再定式化を用いて、非局所理論のハミルトニアン形式を提案する。空間変数 $ x $ を導入して時刻における非局所性を符号化することで、コンpactに台を持つ汎関数を有する局所場理論を導出し、第二級制約を第一級制約に再定式化し、境界項を通じて一貫したポアソン括弧構造を確立する。これにより、ジャコビ恒等式の破れや微分可能性の問題を回避する。

ABSTRACT

We consider the Hamiltonian treatment of non-local theories and Ostrogradski's formalism. This has recently also been discussed by Woodard (hep-th/0006207) and by Gomis, Kamimura and Llosa (hep-th/0006235). In our approach we recast the second class constraints into first class constraints and invoke the boundary Poisson bracket.

研究の動機と目的

• オストログラツキー形式における境界項とジャコビ恒等式の破れによって生じる非局所理論の不整合を解消すること。
• 時間的非局所性を空間変数 $ x $ を用いて局所場理論に再定式化することで、便宜的な境界条件の必要性を排除すること。
• 修正された境界ポアソン括弧構造を通じて、第二級制約を第一級制約に再定式化すること。
• ラグランジアンに時間微分を含まずに、非局所的および高階微分的理論に対して一貫したハミルトニアン枠組みを提供すること。
• 分布的運動量と一般化座標を用いて、離散的非局所系に対するオストログラツキー構成の一般化を行うこと。

提案手法

• 非局所性を空間変数 $ x $ に符号化するため、$ q(t) = Q(-t,t) $ を満たす場 $ Q(x,t) $ を導入し、$ Q $ がキラリティ条件 $ \partial_t Q = \partial_x Q $ を満たすようにする。
• ラグランジアンを空間積分として定義する：$ L[Q](t) = \int dx \, \mathcal{L}(x,t) $、ここで $ \mathcal{L} $ は $ \partial_x^n Q $ に依存し、非局所的な時刻依存性を空間依存性に変換する。
• コンパクトな台を持つように、$ P(x,t) $ を偏微分方程式 $ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $ により定義し、関数的微分が適切に定義されることを保証する。
• 境界ポアソン括弧形式を用いて制約を扱い、修正された制約構造を通じて第二級制約を第一級制約に再定式化する。
• 離散的非局所性の場合、一般化オストログラツキー変数 $ Q^{i(n)}(t) = (\partial_x^n Q)(x_i,t) $ を定義し、無限小近傍での空間積分により運動量 $ P_{i(n)}(t) $ を定義する。
• 正準ハミルトニアン $ H(t) = \sum_{i,n} P_{i(n)} Q^{i(n+1)} - L[Q](t) $ を導出し、正準ポアソン括弧 $ \{Q^{i(n)}, P_{j(m)}\} = \delta^n_m \delta^i_j $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ恒等式の破れを引き起こさずに、非局所理論をハミルトニアン枠組みで一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 境界関連の不整合を回避するために、オストログラツキー形式を非局所系に適応できるか？
• RQ3 境界ポアソン括弧は、第二級制約を第一級制約に変換する際に果たす役割は何か？
• RQ4 標準的な速度に基づく定義が失敗する非局所理論において、運動量を一貫して定義する方法は何か？
• RQ5 離散的非局所系を、一般化座標と運動量を用いた局所的かつ制約なしのハミルトニアン系に再定式化できるか？

主な発見

• 場の再定義 $ Q(x,t) = q(x+t) $ により、非局所的な時刻依存性が空間依存性に変換され、局所的場理論的定式化が可能になる。
• 運動量 $ P(x,t) $ は、コンパクトな台を持つ偏微分方程式 $ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $ により定義され、関数的微分が適切に定義される。
• 境界ポアソン括弧構造により、第二級制約が第一級制約に再定式化され、ハミルトニアン定式化における一貫性問題が解消される。
• 離散的非局所性の場合、運動量の式は $ P_{i(n)}(t) = O_{(n+1)}(x_i,t) $ に簡略化され、ここで $ O_{(k)} $ は高階のオイラー＝ラグランジュ微分を表す。
• 得られるハミルトニアン系は制約なしで正準的であり、一般化座標 $ Q^{i(n)}(t) $、運動量 $ P_{i(n)}(t) $、正準ポアソン括弧を持つ。
• $ x $ におけるコンパクトな台により、$ q(t) $ に対する明示的な境界条件の必要性が回避され、物理的な一貫性が保証される。