[論文レビュー] A note on non-negatively curved Berwald spaces

Martin Kell|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シュバルツのベルワルド計量化定理を用いて、フラットでない因子が存在しない場合、Finsler幾何学とリーマン幾何学を結びつけることにより、ベルワルド空間におけるリッチ曲率がアフィン不変量であることを確立する。非負のリッチ曲率をもつ、測地的に完全で単連結なベルワルド空間の完全な構造定理を証明する。それらは、ユークリッド空間と、コンパクト型の非可縮リーマン的または高ランク対称空間の等長的直積に分解される。対応するFinslerノルムは、対称因子が存在しない場合には明示的に記述される。この結果は、ベルワルド・アインシュタイン多様体や体積成長の性質への応用を可能にする。

ABSTRACT

In this note it is shown that Berwald spaces admitting the same norm-preserving torsion-free affine connection have the same (weighted) Ricci curvatures. Combing this with Szabó's Berwald metrization theorem one can apply the Cheeger-Gromoll splitting theorem in order to get a full structure theorem for Berwald spaces of non-negative Ricci curvature. Furthermore, if none of the factor is a symmetric space one obtains an explicit expression of Finsler norm of the resulting product. By the general structure theorem one can apply the soul theorem to the factor in case of non-negative flag curvature to obtain a compact totally geodesics, totally convex submanifolds whose normal bundle is diffeomorphic to the whole space. In the end we given applications to the structure of Berwald-Einstein manifolds and non-negatively curved Berwald spaces of large volume growth.

研究の動機と目的

• ベルワルド空間におけるリッチ曲率が、アフィン接続にのみ依存することを確立し、それによりアフィン不変量であることを示すこと。
• ベルワルド空間のリーマン計量化を通じて、チーリング＝グロモルの分解定理を応用すること。
• 非負のリッチ曲率をもつ、測地的に完全で単連結なベルワルド空間の完全な構造定理を導出すること。
• 高ランク対称因子が存在しない場合のFinslerノルムの明示的表現を提供すること。
• アフィン同値性を用いて、非リーマン的ベルワルド空間に対しても体積成長およびソール定理の結果を拡張すること。

提案手法

• シュバルツのベルワルド計量化定理を活用し、各ベルワルド空間を同じアフィン接続をもつリーマン多様体に結びつけること。
• de Rhamの分解定理を用いて、リーマン計量を非可縮成分に分解すること。
• リーマン対応物にチーリング＝グロモルの分解定理を適用し、平坦因子および完全測地的因子を同定すること。
• 重み付きリッチ曲率がアフィン同値性のもとで保存されることを示し、体積測度の同値性と測地線の一致に依拠すること。
• 接バンドル上でのミンコフスキーノルムとして、積上でのFinslerノルムを構成し、平坦でない成分において対称的であること。
• ペルェラマンのソール定理をリーマン因子に適用し、コンパクトで完全測地的ソールの法バンドルと微分同相であることを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルワルド空間におけるリッチ曲率は、アフィン接続にのみ依存し、アフィン不変量となるか？
• RQ2 ベルワルド空間のリーマン計量化を通じて、チーリング＝グロモルの分解定理を適用できるか？
• RQ3 測地的に完全で単連結なベルワルド空間が非負のリッチ曲率をもつとき、その完全な幾何的構造は何か？
• RQ4 どのような条件下で、このような空間上のFinslerノルムを、因子上のリーマンノルムの関数として明示的に表現できるか？
• RQ5 非負の断面曲率をもつリーマン多様体に対するソール定理は、対応するベルワルド空間へと拡張可能か？

主な発見

• 非負のリッチ曲率をもつベルワルド空間は、ユークリッド空間と、コンパクト型の非可縮リーマン的または高ランク対称空間の等長的直積に分解される。
• このような積空間上のFinslerノルムは、平坦でない成分に対応する部分で対称的なミンコフスキーノルムとして与えられる。
• 重み付きリッチ曲率はアフィン同値性のもとで保存され、ベルワルドクラスにおけるアフィン不変量であることが確認される。
• 高ランク対称因子が存在しない場合、Finslerノルムは $ F(v_0,\dots,v_n) = G(v, F_1(v_1),\dots,F_n(v_n)) $ として明示的に表され、ここで $ G $ は対称なミンコフスキーノルムである。
• リーマン計量化のソールは、ベルワルド空間に対してもソールであることが示され、したがって全空間は、コンパクトで完全測地的部分多様体の法バンドルと微分同相である。
• 構造定理により、体積成長が大きい非負曲率のベルワルド空間は、平坦因子を含まなければならないことが示され、その位相的構造は非可縮リーマン多様体の計量的直積に還元される。