[論文レビュー] A Note on Oracle Separations for BQP

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アーロンソンの2010年のBQPとBPP_pathまたはSZKの間のオракル分離に関する主張における微細な誤りを是正し、洗練された構成を用いて両分離を救済する。新たにオラクル分離を確立：BQP ⊄ SZK（シモン問題を用い）、P^SZK ⊄ QSZK、P^SZK ⊄ BPP_path。SZKおよびQSZKプロトコルに耐性を持つ関数を硬くするための新規チェックビット変換を用いる。

ABSTRACT

In 2009, using the $ extsf{Fourier Checking}$ problem, Aaronson claimed to construct the relativized worlds such that $ extsf{BQP} ot\subset \mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$. However, there are subtle errors in the original proof. In this paper, we point out the issues, and rescue these two separations by using more sophisticated constructions. Meanwhile, we take the opportunity to study the complexity classes $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{SZK}$. We give general ways to construct functions which are hard for $ extsf{SZK}$ and $\mathsf{BPP_{path}}$ (in the query complexity sense). Using these techniques, we give alternative construction for the oracle separation $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$, using only Simon's problem. We also give new oracle separations for $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $ extsf{QSK}$. The latter result suggests that $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ might be strictly larger than $ extsf{SZK}$.

研究の動機と目的

• アーロンソンの2010年のBQPとBPP_pathまたはSZKの間のオラクル分離に関する証明における微細な誤りを特定・是正すること。
• BQP ⊄ BPP_pathおよびBQP ⊄ SZKという主張されたオラクル分離を救済する、厳密で代替可能な構成を提供すること。
• クエリ複雑度モデルにおいて、SZKおよびBPP_pathマシンに対して硬い関数を構築する一般的手法を開発すること。
• P^SZK ⊄ QSZKおよびP^SZK ⊄ BPP_pathという新たなオラクル分離を確立し、SZKがP^SZKに真に含まれることを示唆する証拠を提供すること。

提案手法

• BPP_pathマシンがほとんどk-独立な分布を完全に区別できないことを示し、Forrelation問題を硬い例として用いることで、BQP ⊄ BPP_path分離を救済する。
• アーロンソン、ベン＝ダヴィッド、コタリが提示したチートシート構成を変更し、クエリ複雑度が大きい任意の関数のチェックビット版を生成することで、BQP ⊄ SZK分離を救済する。
• 任意の関数f（R(f)またはQ(f)が大きい場合）から、f_chkを構成し、このf_chkがクエリモデルにおけるSZKおよびQSZKプロトコルに対して硬いことを保証する。
• ハイブリッド論法とコーシー＝シュワルツ不等式を用い、f_chkに対してQSZKプロトコルが存在するならば、多項式nのクエリを持つ量子アルゴリズムがf^{⊗ c}を非無視的確率で解けることになるが、これは既知の下界と矛盾することを示す。
• チェックビット変換を適用して、P^SZK^O ⊄ QSZK^Oを証明し、QSZKにおける最初の非自明なオラクル分離を達成する。
• チェックビット構成と、クエリモデルにおいてBPP_pathマシンに対して硬い問題を生成する新しい手法を組み合わせることで、P^SZK^O ⊄ BPP_path^Oを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-独立性に基づく元の証明における誤りにもかかわらず、主張されたオラクル分離BQP ⊄ BPP_pathは救えるか？
• RQ2 Forrelationに代わるより単純な構成を用いて、オラクル分離によりBQP ⊄ SZKを達成できるか？
• RQ3 関数fのチェックビット変換は、クエリ複雑度モデルにおけるSZKおよびQSZKプロトコルに対して硬さを保つか？
• RQ4 オラクル世界においてP^SZKはQSZKより真に大きいとされ、非自明なオラクル分離によりこれを示せるか？
• RQ5 クエリ複雑度設定において、BPP_pathマシンに対して硬い関数を生成する一般的手法を構築できるか？

主な発見

• 論文は、BPP_pathマシンがほとんどk-独立な分布を区別できないことを証明し、Forrelation問題がクエリモデルにおいてBPP_pathに対して硬いことを示すことにより、BQP ⊄ BPP_pathのオラクル分離を救済する。
• シモン問題を用いた新規構成により、BQP ⊄ SZKのオラクル分離が確立され、Forrelationに基づく証明に代わるより単純な代替手段が得られる。
• クエリ複雑度が大きい関数fのチェックビット変換により得られる関数f_chkは、クエリモデルにおける任意のSZKまたはQSZKプロトコルに対して硬い。
• 論文は、P^SZK^O ⊄ QSZK^Oという最初の非自明なオラクル分離を証明し、P^SZKがQSZKより真に大きい可能性を示唆する。
• P^SZK^O ⊄ BPP_path^Oを確立し、SZKがP^SZKに真に含まれることを示唆する証拠を提供する。
• 論文は、クエリ複雑度モデルにおいてBPP_pathマシンに対して硬い関数を生成する一般的手法を構築し、新たなオラクル分離を可能にする。