[論文レビュー] A note on partitions of groups

Ігор Протасов, Sergii Slobodianiuk|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2014

Mathematics and Applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基数に基づく無限群の分割を調査し、特異基数 𝝳 に対して、自由群は、両方とも左 𝝳-大でないような2つの部分集合への分割を許容するが、特異基数のアーベル群はそうではないことを示している。主な貢献は、分割の性質が代数的構造に依存する二分岐であるという点であり、アーベル群における最大の 𝝳-有界位相への応用を含む。

ABSTRACT

Every infinite group $G$ of regular cardinality can be partitioned $G=A_1\cup A_2$ so that $G eq FA_1$, $G eq FA_2$ for every subset $F\subset G$ of cardinality $|F|

研究の動機と目的

• プロタソフ（2002）が提起した、特異基数のすべての無限群が、その基数に対して左大でない2つの部分集合に分割可能かどうかという問いを解決すること。
• 特異基数の自由群に観察された分割の性質が、特にアーベル群のような他の群の型へと拡張されるかどうかを特定すること。
• 特異基数のアーベル群に、最大の平行移動不変 𝝳-有界位相が存在するかどうかを調査すること。
• 特に 𝝳-正規性の下で、特異基数の群における「厚さ」と「大さ」の部分集合の関係を明確にすること。

提案手法

• 𝝳 が |G| 未満の無限基数であるとき、𝝳-厚さおよび 𝝳-大さの部分集合を基数に基づいて定義し、補集合による双対性を分析する。
• バリアンの定理（定理1）を適用し、正則基数の群が |G| 個の 𝝳-厚さ部分集合に分割可能であることを示す。
• 共終度の議論と、サイズが 𝝳 より小さい部分集合への G の分解を用いて、特異基数において左 𝝳-厚さは右 𝝳-大であることを証明する。
• 最後の文字およびアルファベットに基づく基準を用いて、自由群の明示的分割を構成し、非左大性を保証する。
• 添え字付きのアルファベット上の自由群の直和を用いて、|x^G| < 𝝳 であるが、有限分割の性質を満たさない反例群 G を構成する。
• 不変位相およびバナッハ測度論の結果を応用し、アーベル群上の位相の可解性および最大性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異基数のすべての無限群が、その基数に対して左大でない2つの部分集合に分割可能かどうか？
• RQ2 特異基数の自由群に観察された分割の性質が、同じ基数のすべてのアーベル群に拡張可能かどうか？
• RQ3 特異基数 𝝳 のすべてのアーベル群が、最大の平行移動不変 𝝳-有界位相を有するかどうか？
• RQ4 群の代数的構造と、非大な部分集合への有限分割の存在との関係は何か？
• RQ5 𝝳-正規性の条件を |x^G| < 𝝳 に弱めたとしても、非大な部分集合への有限分割の性質を保持できるか？

主な発見

• 特異基数 𝝳 の任意の自由群 F_A に対して、F_A = B₁ ∪ B₂ となるような分割が存在し、B₁ も B₂ も左 𝝳-大ではない。
• これに対して、特異基数 𝝷 の任意のアーベル群 G に対して、両方とも左 𝝳-大でない2つの部分集合への分割は存在しない。
• G が 𝝳-正規でかつ特異基数のとき、G の任意の有限分割には、少なくとも1つの 𝝳-大なセルが含まれる。
• 論文は、すべての x ∈ G に対して |x^G| < 𝝳 であるが、有限個の非大な部分集合への分割が不可能な反例群 G（自由群の直和）を構成した。
• 特異基数 𝝳 のすべてのアーベル群は、最大の平行移動不変 𝝳-有界位相を有する。この性質は、正則基数の群では成立しない。
• アーベル群の特異基数におけるこのような最大位相の存在は、分割の結果の帰結として確立された。