[論文レビュー] A note on q-Bernoulli numbers and q-Bernstein polynomials

T. Kim, C. S. Ryoo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2010

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ひとこと要約

本稿では、p進整数上の拡張 q-Bernstein 多項式を導入し、ボソン的 p進 q 積分を用いてその性質を調査する。これらの多項式の p 進 q 積分の明示的公式を導出し、q-Bernoulli 数と関連づけ、生成関数および積分変換を用いて対称的恒等式と漸化式を確立する。

ABSTRACT

In this paper we consider the extended q-Bernstein polynomials which are constructed by T. Kim and we investigate some properties.

研究の動機と目的

• p-進整数上での Kim の q-Bernstein 多項式をより広範な解析的応用を想定して二変数形式に拡張すること。
• 一様微分可能性と p 進測度論を用いて、これらの拡張多項式のボソン的 p 進 q 積分を調査すること。
• 積分表現を用いて、q-Bernstein 多項式の p 進 q 積分と q-Bernoulli 数との関係を確立すること。
• 生成関数および積分恒等式を用いて、拡張 q-Bernstein 多項式の対称的恒等式と漸化式を導出すること。
• 結果を複数の q-Bernstein 多項式の積へ一般化し、その p 進 q 積分の閉形式表現を導出すること。

提案手法

• 拡張 q-Bernstein 多項式を $ B_{k,n}(x_1,x_2 ig| q) = \binom{n}{k}[x_1]_q^k[1-x_2]_{q^{-1}}^{n-k} $ として定義し、$ x_1,x_2 \to [0,1] $、$ 0 < q < 1 $ とする。
• テイラー展開を用いて多項式係数を導出するため、生成関数 $ F_q^{(k)}(x_1,x_2 \big| t) = \frac{(t[x_1]_q)^k \text{exp}(t[1-x_2]_{q^{-1}})}{k!} $ を用いる。
• p 進整数上での積分を評価するため、ボソン的 p 進 q 積分 $ I_q(f) = \frac{1}{[p^N]_q} \to \text{lim}_{N\to\infty} \frac{1}{[p^N]_q} \text{sum}_{x=0}^{p^N-1} f(x) q^x $ を適用する。
• q-Bernoulli 数を $ \beta_{n,q} = \text{int}_{\bbZ_p} [x]_q^n d\bar\tau_q(x) $ と定義し、これを多項式積分へ拡張する。
• 偏微分を用いて漸化式を導出する：$ \frac{\text{d}}{\text{d}x_1} B_{k,n} = \frac{\text{log } q}{q-1} n \big( (q-1)[x_1]_q B_{k-1,n-1} + B_{k-1,n-1} \big) $。
• 二項展開および対称的恒等式 $ B_{k,n}(1-x_2,1-x_1 \big| q^{-1}) = B_{k,n}(x_1,x_2 \big| q) $ を用いて、多重積分表現を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kim の q-Bernstein 多項式は、どのように $ \bbZ_p $ 上で二変数形式に一般化できるか。また、その解析的性質は何か。
• RQ2 拡張 q-Bernstein 多項式のボソン的 p 進 q 積分の明示的表現は何か。
• RQ3 拡張多項式の対称的恒等式と漸化式は、q-Bernoulli 数とどのように関係するか。
• RQ4 複数の拡張 q-Bernstein 多項式の積の p 進 q 積分は何か。また、高次の q-Bernoulli 数とどのように関連するか。
• RQ5 生成関数および積分変換を用いて、これらの積分の閉形式恒等式を導出できるか。

主な発見

• 拡張 q-Bernstein 多項式は漸化式 $ [1-x_2]_{q^{-1}} B_{k,n}(x_1,x_2 \big| q) + [x_1]_q B_{k-1,n}(x_1,x_2 \big| q) = B_{k,n+1}(x_1,x_2 \big| q) $ を満たす。
• 多項式 $ B_{k,n}(x_1,x_2 \big| q) $ の p 進 q 積分は $ \binom{n}{k} \beta_{k,q} $ として与えられ、q-Bernoulli 数と直接関連づけられる。
• $ m,n,k \to \bbZ_+ $ のとき、二重積分 $ \text{int}_{\bbZ_p} \text{int}_{\bbZ_p} B_{k,n} B_{k,m} d\bar\tau_q(x_1) d\bar\tau_q(x_2) $ は $ \binom{n}{k}\binom{m}{k} \beta_{2k,q} \text{int}_{\bbZ_p} [1-x_2]_{q^{-1}}^{n+m-2k} d\bar\tau_q(x_2) $ を与える。
• 対称的恒等式により $ \binom{n}{k} \beta_{k,q} = (1 - k - \frac{k}{[2]_q}) + \text{sum}_{l=0}^{k-2} \binom{k}{l} (-1)^{k+l} (q^2 \beta_{k-l,q^{-1}} + k-l+1 - q) $ が得られる。
• $ s $ 重積について、$ \text{int} \text{prod}_{i=1}^s B_{k,n_i} d\bar\tau_q(x_1) d\bar\tau_q(x_2) = \text{prod}_{i=1}^s \binom{n_i}{k} \beta_{sk,q} \text{int}_{\bbZ_p} [1-x_2]_{q^{-1}}^{n_1+\text{...}+n_s - sk} d\bar\tau_q(x_2) $ が成り立つ。
• $ s $ 重積分の一般恒等式から $ \text{prod}_{i=1}^s \binom{n_i}{k} \beta_{sk,q} = 1 - sk - \frac{sk}{[2]_q} + \text{sum}_{l=0}^{sk-2} \binom{sk}{l} (-1)^{sk+l} (q^2 \beta_{sk-l,q^{-1}} + sk-l+1 - q) $ が導かれる。