[論文レビュー] A note on Rényi's "record" problem and Engel's series

Lulu Fang, Min Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Probability and Risk Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ウィリアムズが導入した2つのマーカフ過程、C過程（記録時刻および修正エングル級数に関連）とA過程（標準エングル級数に関連）の極端な偏差を調査する。両過程は古典的極限定理を共有するが、著者らは極限定理を用いて、それらの尾部挙動が異なることを示している。C過程のレート関数は $ I_C(x) = x - \log(x+1) $（$ x > -1 $）であり、A過程のそれは $ x > -1 + 1/a $ の範囲で $ I_A(x) = x - \log(x+1) $ となるが、$ a=2 $ の場合に特徴的な線形部分を持つ。これは、まれな事象の確率に根本的な違いがあることを示している。

ABSTRACT

In 1973, Williams introduced two interesting discrete Markov processes, namely $C$-processes and $A$-processes, which are related to record times in statistics and Engel's series in number theory respectively. Moreover, he showed that these two processes share the same classical limit theorems, such as the law of large numbers, central limit theorem and law of the iterated logarithm. In this paper, we consider the large deviations for these two Markov processes, which indicate that there is a difference between $C$-processes and $A$-processes in the context of large deviations.

研究の動機と目的

• C過程とA過程の極限定理の挙動を分析すること。これらは、大数の法則や中心極限定理といった古典的極限定理を共有していることが知られている。
• 両過程が漸近的挙動において同一であるにもかかわらず、極限定理に基づくまれな事象の挙動が異なるかどうかを特定すること。
• A過程における初期条件の役割を明確にし、C過程とは対照的に、それが極限定理のレート関数に与える影響を明らかにすること。
• ギャートナー＝エラーの定理とモーメント母関数解析を用いて、両過程の正しいレート関数の正確な形を確立すること。

提案手法

• C過程の $ \log C_n $ のモーメント母関数 $ \Lambda_C(\theta) $ を導出し、ギャートナー＝エラーの定理を適用して、$ \{ (\log C_n - n)/n \} $ に対する極限定理（LDP）を確立する。
• i.i.d. 指数分布の $ W_n $ を用いた表現 $ C_n = [C_{n-1} \exp(W_n)] + 1 $ を用いてC過程をモデル化し、その対数的成長を分析する。
• A過程を $ A_n = [a_{n-1} \exp(W_n)] + 1 $ で分析する。ここで $ a_n $ は非減少列であり、そのモーメント母関数 $ \Lambda_A(\theta) $ を導出する。
• $ \Lambda_A(\theta) $ のレジェンドル変換を計算し、レート関数 $ I_A(x) $ を得る。これは初期値 $ A_0 = a $ に依存し、$ a \to \infty $ のとき $ I_A(x) \to I_C(x) $ を示す。
• レート関数 $ I_C(x) $ と $ I_A(x) $ を比較し、すべての $ x \in \mathbb{R} $ に対して $ I_C(x) \geq I_A(x) $ であり、特に $ [-1, -1/2) $ で厳密な不等号が成り立つことを示す。
• $ \mathbb{P}(A_n = 2) = 2^{-n} $ を用いて、極限定理のレートに対する下界を導出し、$ I_A(-1) \leq \log 2 $ が成り立つことを示す。これはC過程では不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C過程とA過程は、古典的極限定理を共有しているにもかかわらず、同じ極限定理の挙動を示すか？
• RQ2 C過程の極限定理のレート関数の正確な形は何か？ また、A過程のそれとどのように比較できるか？
• RQ3 初期値 $ A_0 = a $ がA過程のレート関数に影響を与えるのはなぜか？ 一方、C過程ではその影響がないのはなぜか？
• RQ4 A過程のレート関数に $ \log 2 $ が現れる理由は、プロセス構造からどのように導かれるか？
• RQ5 $ (\log C_n)/n $ と $ (\log A_n)/n $ が平均から逸脱する尾部確率の違いは、どのように説明できるか？

主な発見

• 列 $ \{ (\log C_n - n)/n \} $ は、$ x > -1 $ に対して良いレート関数 $ I_C(x) = x - \log(x+1) $ を持つ極限定理を満たし、それ以外では $ +\infty $ となる。
• 列 $ \{ (\log A_n - n)/n \} $ は、$ x > -1 + 1/a $ に対してレート関数 $ I_A(x) = x - \log(x+1) $ を持ち、$ -1 \leq x \leq -1 + 1/a $ の範囲では線形部分 $ (1-a)(x+1) + \log a $ を持つ。ここで $ a = A_0 \geq 2 $ である。
• $ a = 2 $ の場合、$ I_A(x) $ は $ [-1, -0.5] $ に特徴的な線形成分を持つが、$ I_C(x) $ は厳密に強凸であり、このような部分を持たない。
• すべての $ x \in \mathbb{R} $ に対して $ I_C(x) \geq I_A(x) $ であり、$ [-1, -1/2) $ で厳密な不等号が成り立つ。これは、$ C_n $ がその平均から $ A_n $ よりもまれに逸脱することを示している。
• $ \mathbb{P}(A_n = 2) = 2^{-n} $ より、$ \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{P}\left( \frac{\log A_n - n}{n} \leq x \right) \geq -\log 2 $ が得られ、これは $ I_A(x) $ の非自明な線形部分の寄与要因である。
• $ a \to \infty $ のとき、レート関数 $ I_{A,a}(x) \to I_C(x) $ となる。これは、A過程が初期値が大きい極限でC過程の挙動に収束することを示している。