[論文レビュー] A note on Ramsey numbers for minors

Maria Axenovich, Steiner, Raphael|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 0

ひとこと要約

論文はすべてのグラフFについて漸近的にR_h(F;2)を決定し（したがってR_h(k)とR_h(k;2)）、かつℓ≫k≫1のときR_h(k;ℓ)の漸近を与え、最小因子系のラムゼイ問題とMyers–Thomason定数を結びつける。

ABSTRACT

Let $R_h(k; \ell)$ be the smallest integer $n$ such that any edge coloring of a complete graph on $n$ vertices in $\ell$ colors results in a monochromatic $K_k$-minor, in other words, a graph with Hadwiger number $k$, i.e., a graph that could be transformed into a clique $K_k$ on $k$ vertices via a sequence of edge contractions and vertex deletions. More generally, for a graph $F$ and integer $\ell$ let $R_h(F;\ell)$ be the smallest integer $n$ such that any edge coloring of a complete graph on $n$ vertices in $\ell$ colors results in a monochromatic $F$-minor. In 2001 Thomason and in 2005 Myers and Thomason asymptotically determined the extremal numbers for clique minors and $F$-minors, respectively. They found the respective explicitly computable leading constants $β=0.265656...$ and $γ(F)\cdot β$ for these extremal numbers. We determine $R_h(F;2)$ for every graph $F$ as $$R_h(F;2)=(γ(F)+o(1))|V(F)|\sqrt{\log_2(|V(F)|)},$$ where the $o(1)$-term tends to zero as $|V(F)| ightarrow \infty$. In particular, $$R_h(k;2)=(1+o(1))k\sqrt{\log_2 k}.$$ When $\ell\gg k \gg 1$, we show that $$ R_h(k; \ell) = (2β+o(1)) \ell k \sqrt{\log_2 k}.$$

研究の動機と目的

• Hadwiger数の文脈で minor-Ramsey 数 R_h(F;ℓ) および R_h(k;ℓ) を動機付け・定義する。
• すべてのFについてR_h(F;2)の漸近値を決定する（従って R_h(k;2) および R_h(k)）。
• ℓ≫k≫1 のとき R_h(k;ℓ) の漸近挙動を決定する。
• Ramsey-minor 数を Thomason・Myers・Thomason の極値結果へ結びつける。
• R_h(3)、R_h(4) の小さなkに対する正確値と境界を提供する。

提案手法

• Fに対する c(F) および γ(F) に関する Myers–Thomason の結果を用い、確率的構成と密度議論によって R_h(F;2) を導出する。
• 上界・下界の技法を適用: ランダム着色と minor 埋め込み閾値（定理1.5–1.7）を用いて R_h(F;2) を境界づける。
• 主部の証明におけるケース分析を通じて、サブグラフの最小次数が高い場合や高い連結性を持つ場合を扱う。
• 小さいkについて正確な値を導出（例: R_h(3)=5、R_h(4)=7）し、Hadwiger関連境界などの既知の minor-extremal 境界を用いる。
• 二色および多色系へ分析を拡張し、最終的に R_h(k;2)=(1+o(1))k√log k および R_h(k;ℓ)≈2βℓk√log k（大きなℓの場合）といった漸近形へ到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフF（k頂点をもつ）に対する minor-Ramsey 数 R_h(F;2) の漸近的挙動はどうなるか。
• RQ2 R_h(k;2) は γ(F)aka Myers–Thomason 定数とどのように関連するか。
• RQ3 ℓがkよりはるかに大きいとき R_h(k;ℓ) の漸近形はどうなるか。
• RQ4 小さなkの正確値または厳密な境界はどうなるか（例: R_h(3)、R_h(4)）。
• RQ5 希薄なグラフ（木・星型など）に対して minor-Ramsey-framework は正確な結果を与えられるか、どのような領域で有効か。

主な発見

• R_h(F;2) = (γ(F) + o(1)) k √(log k) をすべての k 頂点グラフ F に対して得る。従って R_h(k) = (1 + o(1)) k √(log k)。
• R_h(3) = 5 および R_h(4) = 7；k ≥ 5 のとき 2k−2 ≤ R_h(k) ≤ 32(k−2) ⌊log(k−2)⌋ + 1。
• ℓ ≫ k ≫ 1 の場合、R_h(k;ℓ) = (2β + o(1)) ℓ k √(log k) となり、β = 0.265656...；R_h(3;ℓ) = 2ℓ + 1。
• γ(F) および β の定数は Myers–Thomason から来る密度ベースの下界・上界を支配し、c(F) ≈ γ(F) β k √(log k) の形となる。
• この研究は二色 minor-Ramsey の漸近性を確認し、大ℓ領域を提供し、完全小 minors の極値結果および密度議論へ結びつける。