[論文レビュー] A Note on Roman \{2\}-domination problem in graphs

Hangdi Chen, Changhong Lü|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分割グラフにおけるローマ{2}-ドミネーティング問題のNP完全性を確立し、木における独立ローマ{2}-ドミネーティング数を計算する線形時間アルゴリズムを提示することで、未解決問題を解決する。さらに、頂点タイプと関数値に基づく状態分類を用いたブロックカットポイント木上の動的計画法を用いて、ブロックグラフにおけるローマ{2}-ドミネーティング問題に対しても線形時間アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

For a graph $G=(V,E)$, a Roman $\{2\}$-dominating function (R2DF)$f:V ightarrow \{0,1,2\}$ has the property that for every vertex $v\in V$ with $f(v)=0$, either there exists a neighbor $u\in N(v)$, with $f(u)=2$, or at least two neighbors $x,y\in N(v)$ having $f(x)=f(y)=1$. The weight of a R2DF is the sum $f(V)=\sum_{v\in V}{f(v)}$, and the minimum weight of a R2DF is the Roman $\{2\}$-domination number $γ_{\{R2\}}(G)$. A R2DF is independent if the set of vertices having positive function values is an independent set. The independent Roman $\{2\}$-domination number $i_{\{R2\}}(G)$ is the minimum weight of an independent Roman $\{2\}$-dominating function on $G$. In this paper, we show that the decision problem associated with $γ_{\{R2\}}(G)$ is NP-complete even when restricted to split graphs. We design a linear time algorithm for computing the value of $i_{\{R2\}}(T)$ for any tree $T$. This answers an open problem raised by Rahmouni and Chellali [Independent Roman $\{2\}$-domination in graphs, Discrete Applied Mathematics 236 (2018), 408-414]. Chellali, Haynes, Hedetniemi and McRae \cite{chellali2016roman} have showed that Roman $\{2\}$-domination number can be computed for the class of trees in linear time. As a generalization, we present a linear time algorithm for solving the Roman $\{2\}$-domination problem in block graphs.

研究の動機と目的

• ローマ{2}-ドミネーティングの決定問題が、分割グラフに制限されてもNP完全であることを証明すること。
• ラームウンイとチェラリが提起した未解決問題、すなわち、木における独立ローマ{2}-ドミネーティング数を計算する線形時間アルゴリズムの存在を解明すること。
• 木よりも広いクラスであるブロックグラフに対し、ローマ{2}-ドミネーティングの効率的計算を拡張すること。
• ブロックカットポイント木上の動的計画法フレームワークを構築し、線形時間でローマ{2}-ドミネーティング数を計算すること。

提案手法

• 分割グラフにおけるローマ{2}-ドミネーティングのNP完全性を示すために、頂点被覆問題への還元を用いる。
• ブロックグラフのブロックカットポイント木上で、6つの状態タイプを用いて頂点関数の割り当てを分類する動的計画法アルゴリズムを設計する。
• 頂点を切断頂点およびタイプ0, 1, 2のブロック頂点に分類し、それぞれに特定の初期状態ベクトルを割り当てる。
• 部分木の再帰的組み合わせにより状態遷移を定義し、支配制約を保つために有効な関数値の組み合わせのmin演算を用いる。
• 木の順序付けとブロックカットポイント木の下向き走査を用いて、最適な関数値を効率的に計算する。
• 最終出力は、根における最初の3つの状態の最小値として得られ、これは有効なローマ{2}-ドミネーティング関数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割グラフにおけるローマ{2}-ドミネーティングの決定問題はNP完全であるか？
• RQ2 任意の木において、独立ローマ{2}-ドミネーティング数は線形時間で計算可能か？
• RQ3 ブロックグラフにおけるローマ{2}-ドミネーティング数を計算する線形時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 ブロックグラフにおける有効なローマ{2}-ドミネーティング関数の構造は何か？ そして、動的計画法により効率的に列挙可能か？

主な発見

• 頂点被覆問題への多項式時間還元により、分割グラフにおけるローマ{2}-ドミネーティングの決定問題がNP完全であることが証明された。
• 任意の木における独立ローマ{2}-ドミネーティング数を計算する線形時間アルゴリズムが、成功裏に設計され、正しさが証明された。これは未解決問題を解決するものである。
• ブロックグラフのアルゴリズムは、頂点数nに対してO(n)時間で実行され、ブロックカットポイント木上の動的計画法に基づく。
• 状態分類方式（B1～B6およびA1～A6）により、木分解に伴う支配制約の正しく伝搬される仕組みが実現された。
• 最終的な結果は、根における最初の3つの状態の最小値として得られ、有効なローマ{2}-ドミネーティング関数の最小重みが保証される。
• 適切な状態ベクトルの初期化と、定義された遷移ルールに従うmin演算による組み合わせにより、アルゴリズムはすべてのブロックタイプ（0, 1, 2）および切断頂点を正しく処理する。