[論文レビュー] A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities

Mousomi Bhakta|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的作用素と複数の臨界非線形項および特異的ポテンシャルを含む4階楕円型方程式に対する非自明な弱解の存在および非存在を調査する。Pohozaev型の恒等式を用いて、$1 < q < 2^{**}$ の場合の非存在を証明し、$q = 2^{**}$ および $-(N-2)^2 \ leq \mu < \mu_1$ の場合に、Palais-Smale系列の詳細な解析とスケーリングにおける共形不変性を活用して競合する臨界非線形項をバランスさせることで、Mountain-Pass定理を用いて存在を確立する。

ABSTRACT

We study the existence and non-existence of nontrivial weak solution of $$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad extrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$ where $N\geq 5$, $q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$, $0

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$, $N \geq 5$ における複数の臨界非線形項を有する非線形バイハーモニック方程式に対する非自明な弱解の存在および非存在を分析すること。
• $q = 2^{**}$ の場合に生じる $|u|^{q_\beta-2}u/|x|^\beta$ 項と $|u|^{2^{**}-2}u$ 項に起因する競合する臨界非線形項の課題に対処すること。
• スケーリング $u(x) \mapsto t^{(N-4)/2}u(tx)$ における共形不変性に起因するコンactnessの欠如を、適切なエネルギー準位におけるPalais-Smale系列の構成によって克服すること。
• 特に $\mu < \mu_1$ および $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$ の場合に、特異的ポテンシャルを有する4階方程式への変分法の拡張を図ること。

提案手法

• $1 < q < 2^{**}$ の場合に非存在を示すためにPohozaev型の恒等式を用いる。
• $q = 2^{**}$ および $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$ の場合に、AmbrosettiとRabinowitzのMountain-Pass定理を用いて非自明な弱解の存在を確立する。
• $D^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 上でエネルギー汎関数 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 - \frac{1}{q_\beta}\int \frac{|u|^{q_\beta}}{|x|^\beta}dx - \frac{1}{2^{**}}\int |u|^{2^{**}}dx$ を定義し、RellichおよびSobolevの不等式により $C^1$ であることを示す。
• スケーリング不変性を活用してエネルギー寄与をバランスさせることで、1つの非線形項が他方を支配しないように、臨界エネルギー準位におけるPalais-Smale系列を構成する。
• $\mu < 0$ の場合、特に $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$ の場合に、径対称性および径対称極値定数 $S_{\mu,0}^{rad}$ と $S_{\mu,\beta}^{rad}$ を用いて存在を回復する。
• Schauder推定法および正則性理論を適用し、弱収束部分列の弱極限 $v_0$ が原点を除く $\mathbb{R}^N$ 上で古典的 $C^4$ 解であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^N$ におけるバイハーモニック方程式 $\Delta^2 u - \mu \frac{u}{|x|^4} = \frac{|u|^{q_\beta-2}u}{|x|^\beta} + |u|^{q-2}u$ が非自明な弱解を有する条件は何か？
• RQ2 $q = 2^{**}$ の場合に標準的なMountain-Pass定理が解を生成できない理由は何か、そしてこの失敗をどのように是正できるか？
• RQ3 2つの臨界非線形項の間の競合が解の存在または非存在に果たす役割は何か？
• RQ4 $\mu$ の符号および大きさが解の存在に与える影響、特に $\mu < 0$ の場合にどうなるか？
• RQ5 両方の非線形項が臨界である場合に、$u(x) \mapsto t^{(N-4)/2}u(tx)$ における共形不変性を活用して解を構成できるか？

主な発見

• $1 < q < 2^{**}$ の場合に非自明な弱解が存在しないことは、Pohozaev型の恒等式により証明された。
• $q = 2^{**}$ および $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$ の場合に非自明な弱解が存在することは、Mountain-Pass定理により確立された。
• 臨界エネルギー準位は、2つの臨界非線形項の寄与をバランスさせるために選ばれ、一方が他方を支配しないようにする。
• Palais-Smale系列は弱収束して非自明な極限 $v_0$ に収束し、正則性理論により $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 上で古典的解であることが示された。
• $\mu < 0$ の場合、径対称極値および径対称定数 $S_{\mu,0}^{rad}$ と $S_{\mu,\beta}^{rad}$ を用いて存在結果を拡張した。これらは常に達成可能である。
• 解 $v_0$ は原点を除いて $C^4$-滑らかであり、非線形項の超線形的成長により $\Delta^2 v_0$ の局所リプシッツ連続性が保証された。