[論文レビュー] A note on separable functors and monads

Xiao‐Wu Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分離関手とモノイドを用いた随伴関手の単関手性の基準を確立する。右随伴関手が分離的であることと、関連するモノイドが分離的であり、比較関手がリトラクトに関して同値であることとは同値である。アイデムポテンス完備性の条件下では、随伴対は単関手的になる。この結果を応用して、アーベル圏において群の位数が可逆であるとき、G-不変対象の導来圏は、導来圏におけるG-不変対象と三角同値であることを示す。

ABSTRACT

For an adjoint pair $(F, G)$ of functors, we prove that $G$ is a separable functor if and only if the defined monad is separable and the associated comparison functor is an equivalence up to retracts. In this case, under an idempotent completeness condition, the adjoint pair $(F, G)$ is monadic. This applies to the comparison between the derived category of the category of equivariant objects in an abelian category and the category of equivariant objects in the derived category of the abelian category.

研究の動機と目的

• 随伴対の単関手性を分離関手とモノイドを用いて基準づけること。
• アーベル圏におけるG-不変対象の導来圏が、導来圏におけるG-不変対象と同値となる条件を明確化すること。
• 特徴値が0でない場合および遺伝的条件の下で知られている同値結果を、より広い設定に一般化すること。
• アーベル圏における群の位数の可逆性が、G-不変圏の導来同値性において十分かつ必要条件であることを示すこと。

提案手法

• Hom-関手への誘導された自然変換への自然なリトラクションの存在を用いて、分離関手を定義する。
• 随伴対 (F, G) を用いてモノイド M = GF を定義し、M および比較関手の性質を用いて G の分離性を特徴づける。
• G が分離的であることと、M が分離的であり、比較関手がリトラクトに関して同値であることとは同値であることを証明する。
• G における平均化を用いてセクションを構成することで、G-不変対象の圏と基本圏の間の随伴にこの基準を適用する。
• 導来圏におけるモノイド M = UF の分離性を用いて、D^b(A^G) と D^b(A)^G 間の三角同値を誘導する。
• 前三角圏および安定分離性に関する結果を活用して、導来同値が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右随伴関手が、関連するモノイドおよび比較関手の観点から、どのような条件下で分離的であるか？
• RQ2 アイデムポテンス完備性の仮定の下で、随伴対はいつ単関手的になるか？
• RQ3 特徴値が0でない、または遺伝的条件がない場合でも、D^b(A^G) と D^b(A)^G 間の同値性は成立するか？
• RQ4 群の位数の可逆性が、G-不変圏の導来同値を確立する上で果たす役割は何か？
• RQ5 追加の仮定なしに、G-不変対象の導来圏と不変導来圏の間の比較関手が同値である可能性はあるか？

主な発見

• 有限群 G の位数がアーベル圏 A において可逆であるとき、忘却関手 U: A^G → A は分離的である。
• 同じ可逆性条件のもとで、A 上のモノイド M = UF は分離的である。
• A がアイデムポテンス完備であり、G-作用が三角関手によって行われるとき、A^G は一意な前三角構造を誘導し、U は三角関手になる。
• |G| が A において可逆であるとき、関手 K: D^b(A^G) → D^b(A)^G は三角同値である。
• |G| が可逆でない場合、正の特性における反例によって、同値性が成立しないことが示される。
• 特徴値が0でない、および遺伝的条件を必要としない点で、[8, Lemma 1.1] を一般化している。