[論文レビュー] A note on sequential warped product manifolds

Sameh Shenawy|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多様体や時空の多様なワーペッド積構造を構築する一般化として、逐次ワーペッド積多様体を導入する。共変微分、曲率テンソル、リッチ曲率、スカラー曲率の明示的公式を導出し、測地線および2種類の共形ベクトル場（キリング場と同心場）の特徴づけを提供し、高次元多様体の包括的な幾何的枠組みを提示する。

ABSTRACT

In this note, we introduce the notion of sequential warped product manifolds, to construct a wide variety of warped product manifolds and space-times. First we derive covariant derivative formulas for sequential warped product manifolds. Then we derive many curvature formulas such as curvature tensor, Ricci curvature and scalar curvature formulas. Some important consequences of these formulas are stated. This article also provides characterizations of geodesics and two different types of conformal vector fields, namely, Killing vector fields and concircular vector fields on sequential warped product manifolds.

研究の動機と目的

• 逐次ワーペッド積多様体の概念を導入することで、ワーペッド積多様体の構成を一般化すること。
• 逐次ワーペッド構造における共変微分の明示的公式を導出すること。
• これらの多様体におけるリーマン曲率テンソル、リッチ曲率、スカラー曲率の計算を行うこと。
• 逐次ワーペッド多様体上での測地線および2種類の共形ベクトル場（キリング場と同心場）の特徴づけを行うこと。

提案手法

• 複数のワーピング関数を用いた繰り返しのワーペッド積として、逐次ワーペッド積多様体を定義する。
• 逐次ワーピングの構造を用いて、ベクトル場の共変微分の一般式を導出する。
• 逐次フレームワーク内でのガウス・コダッチ方程式を適用して、リーマン曲率テンソルを計算する。
• リッチ曲率およびスカラー曲率をワーピング関数およびその微分の形で表現する。
• 積構造上の関連する常微分方程式系を解くことによって、測地線方程式を解析する。
• ワーピング関数および計量適合性を含む微分方程式を用いて、キリング場および同心場を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワーペッド積多様体の概念を、複数のワーピング関数を用いた逐次的構成を許容するようにどのように一般化できるか？
• RQ2 逐次ワーペッド積多様体における共変微分の明示的公式は何か？
• RQ3 このような多様体におけるリーマン曲率テンソル、リッチ曲率、スカラー曲率は、ワーピング関数にどのように依存するか？
• RQ4 逐次ワーペッド積多様体上でベクトル場がキリング場または同心場であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 逐次ワーペッド積多様体における測地線はどのように振る舞い、その経路を支配する方程式は何か？

主な発見

• 本稿では、複雑な幾何的構造における曲率計算を可能にする、逐次ワーペッド積多様体における共変微分の明示的公式を導出する。
• リーマン曲率テンソルはワーピング関数およびその微分の形で表現され、逐次的ワーピングの幾何的影響が明らかになる。
• リッチ曲率およびスカラー曲率は明示的に計算され、ワーピング関数およびその勾配に依存することが示される。
• 逐次ワーペッド積多様体上の測地線は、計量構造から導かれる連立常微分方程式系を満たす。
• これらの多様体上のキリングベクトル場は、ワーピング関数およびその対称性を含む微分方程式によって特徴づけられる。
• 同心ベクトル場は計量とワーピング関数を関連付ける方程式系を通じて完全に特徴づけられ、古典的結果が逐次的設定へと拡張される。