[論文レビュー] A note on solvable maximal subgroups in subnormal subgroups of ${\mathrm GL}_n(D)$

H. V. Khanh, Bui Xuan Hai|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中心 $ F $ を持つ非可換除法環 $ D $ に対して、$ \mathrm{GL}_n(D) $ の部分群 $ G $ が非アーベル的可解な極大部分群を含むならば、必然的に $ n = 1 $ であり、$ D $ は $ F $ 上の素数次数の巡回代数であることを証明する。この結果は、歪線型群における極大部分群に関する予想の特殊ケースを確認し、$ n > 1 $ の場合にそのような部分群が存在しえないことを示す。また、$ n = 1 $ の場合の $ D $ と極大部分群の構造を同定する。

ABSTRACT

Let $D$ be a non-commutative division ring, $G$ a subnormal subgroup of ${\mathrm GL}_n(D)$. In this note we show that if $G$ contains a non-abelian solvable maximal subgroup, then $n=1$ and $D$ is a cyclic algebra of prime degree over $F$.

研究の動機と目的

• $ n \geq 2 $ の場合に $ \mathrm{GL}_n(D) $ に可解な極大部分群が存在しないという未解決の予想に対処する。特に非アーベル的可解群について。
• 従来の結果を一般化し、$ n > 1 $ の場合に $ \mathrm{GL}_n(D) $ の部分正規部分群が非アーベル的可解な極大部分群を含むことは不可能であることを示す。
• そのような極大部分群が存在する場合、除法環 $ D $ 及びその部分群に課される構造的制約を調査する。
• このような部分群が存在可能な $ n = 1 $ の場合を特徴づけ、$ D $ が中心上での素数次数の巡回代数である条件を同定する。
• そのような極大部分群の存在が、$ D $ が中心上での有限次元除法代数であり、特定のガロア理論的構造を持つことを強制することを確立する。

提案手法

• $ \mathrm{GL}_n(D) $ の部分正規部分群の構造と、それら内の極大アーベル部分群の性質を利用する。
• カルタン＝ブローハー＝フアの定理を適用し、極大部分群が全行列代数を生成するならば、その群は中心をmodulo して単純でなければならないことを示す。
• 局所有限および局所可解群の理論を用いて、除法環内の部分群の有限性と構造を分析する。
• ガロア理論および群環技法を用い、極大部分群がその極大アーベル部分体に作用する様子を分析し、ガロア群と同型であることを確立する。
• PI環およびアートン環に関するカプランスキーの定理を適用し、部分群により生成される群環の有限性と単純性を導く。
• ガロア理論の基本定理を用いて、極大部分群をその中心で割った商が素数位数の巡回群に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n > 1 $ の場合に、$ \mathrm{GL}_n(D) $ の部分正規部分群に非アーベル的可解な極大部分群が存在する条件は何か？
• RQ2 そのような極大部分群の存在が除法環 $ D $ に課す構造的制約は何か？
• RQ3 そのような極大部分群が存在する場合、$ D $ の中心と次数 $ n $ を特定することは可能か？
• RQ4 極大部分体のガロア構造は、極大部分群の群構造とどのように関係するか？
• RQ5 そのような極大部分群が存在する場合、$ D $ が非巡回的または合成的次数を持つことは可能か？

主な発見

• 部分正規部分群 $ G \leq \mathrm{GL}_n(D) $ が非アーベル的可解な極大部分群を含むならば、$ n = 1 $ であり、$ n > 1 $ の場合にそのような部分群は存在しえない。
• 与えられた条件下では、$ D $ は中心 $ F $ 上の素数次数 $ p $ の巡回代数でなければならない。$ [D:F] = p^2 $ が成り立つ。
• 極大部分群 $ M $ はその中心をmodulo して $ \mathbb{Z}_p $ に同型であり、$ M/K^* \cap G \cong \mathbb{Z}_p $ が成り立つ。ここで $ K $ は $ D $ の極大部分体である。
• ガロア作用の固定体は $ F $ であり、$ K/F $ はガロア群が $ \mathbb{Z}_p $ に同型な有限ガロア拡大である。
• $ M $ の $ FC $-中心は $ K^* \cap G $ に一致し、これは $ M $ のフィッティング部分群でもある。これは群の構造において中心的役割を果たすことを示している。
• 任意の元 $ x \in M \setminus K $ に対して $ x^p \in F $ が成り立ち、$ D = F[M] = \bigoplus_{i=1}^p Kx^i $ が成り立つ。これは $ D $ が巡回構造を持つクロスプロダクト代数であることを示している。