[論文レビュー] A Note On Some Minimally Supersymmetric Models In Two Dimensions

Davide Gaiotto, Johnson-Freyd, T.+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Wess–Zumino結合 $k$ を持つ $ vert\mathbb{S}^3$ 上の2次元 $(0,1)$ スーパーシンメトリー・ゼータ・モデルを調査する。$k \neq 0$ の場合、モデルは超共形固定点へとフローするものと予想され、$k=0$ の場合、スピン統計の対称性が自発的に破れる。主な結果は、$k$ が 24 で割り切れる場合に限り、モデルがスピン統計の対称性を破る理論へ連続的に接続可能であり、この条件はトポロジカル・モジュラー形式（TMF）理論によって裏付けられている。

ABSTRACT

We explore the dynamics of a simple class of two-dimensional models with $(0,1)$ supersymmetry, namely sigma-models with target $S^3$ and the minimal possible set of fields. For any nonzero value of the Wess--Zumino coupling $k$, we describe a superconformal fixed point to which we conjecture that the model flows in the infrared. For $k=0$, we conjecture that the model spontaneously breaks supersymmetry. We further explore the question of whether this model can be continuously connected to one that spontaneously breaks supersymmetry by "flowing up and down the renormalization group trajectories," in a sense that we describe. We show that this is possible if $k$ is a multiple of 24, or equivalently if the target space with its $B$-field is the boundary of a "string manifold." The mathematical theory of "topological modular forms" suggests that this condition is necessary as well as sufficient.

研究の動機と目的

• 最小の場の内容を持つ $(0,1)$ スーパーシンメトリー・ゼータ・モデルが $\mathbb{S}^3$ 上でどのように低エネルギー行動を示すかを特定すること。
• このようなモデルが、重正則化群（RG）フローを介して、スピン統計の対称性を自発的に破る理論へ連続的に接続可能かどうかを調査すること。
• スピン統計の対称性の安定性を決定づける Wess–Zumino 結合 $k$ の役割と、トポロジカル不変量との関係を調査すること。
• モデルの振る舞いが、特に $k \mod 24$ の値に依存するトポロジカル・モジュラー形式（TMF）の類によって支配されることを予想し、その検証を行うこと。
• スピン統計の対称性の破れが、円に沿ったコンパクト化によって検出可能かどうかを明確にし、なぜ標準的観測量が $k \mod 24$ を区別できないかを説明すること。

提案手法

• 目標空間制約 $\sum X_I^2 = 1$ と Wess–Zumino 結合 $k$ を持つ $\mathbb{S}^3$ 上の $(0,1)$ スーパーシンメトリー・ゼータ・モデルを分析する。
• 大きな $|k|$ の弱結合解析を用いて、すべての $k \neq 0$ に対して超共形固定点へフローするものと予想し、$\mathrm{SO}(4)$ の't Hooft異常と一致することを示す。
• 質量のあるスピン統計の対称性を保つ自由度を追加し、理論を変形することで、RG フロー軌道を「上へ・下へ」流す概念を導入する。
• トポロジカル・モジュラー形式（TMF）の数学的枠組みを用いて、$(0,1)$ 理論を分類し、TMF の類が $k \mod 24$ に等しいことを示す。
• 小半径および大半径の円上でのモデルの低エネルギー行動を比較し、$k$ に依存しないかぎり、$\mathbb{S}^3$ 上のディラック作用素がゼロモードを持たないことを示す。
• レベル $\kappa = |k| - 1$ のスピン統計的カレント代数のラムドセクターの基底状態エネルギーを評価し、すべての $k \neq 0$ に対して正であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wess–Zumino 結合 $k$ がどの値をとるとき、$(0,1)$ ゼータ・モデルは $\mathbb{S}^3$ 上で超共形固定点へと低エネルギー領域へフローするか？
• RQ2 スピン統計の対称性を自発的に破る $k=0$ のモデルは、RG フローおよび変形を介して、スピン統計の対称性を破る理論へ連続的に接続可能か？
• RQ3 $k \mod 24$ 条件が、$(0,1)$ 理論がスピン統計の対称性を破る理論へ変形可能かどうかを決定づける役割を果たすのはなぜか？
• RQ4 なぜ $k$ が 24 で割り切れるか否かの区別は、円に沿ったコンパクト化では検出できないのか？
• RQ5 トポロジカル・モジュラー形式（TMF）の数学的理論は、$(0,1)$ スーパーシンメトリー理論の可能な変形をどのように制限するか？

主な発見

• 任意の非ゼロ $k$ に対して、モデルは特定の超共形固定点へフローするものと予想され、$\mathrm{SO}(4)$ の't Hooft異常を正確に再現する。
• $k=0$ の場合、モデルはスピン統計の対称性を自発的に破ると予想され、適切な超共形固定点候補は存在しない。
• モデルは、$k$ が 24 で割り切れる場合に限り、RG フローおよび変形を介してスピン統計の対称性を破る理論へ連続的に接続可能である。
• Wess–Zumino 結合 $k$ を持つ $\mathbb{S}^3$ モデルの TMF の類は $k \mod 24$ に等しく、非ゼロの類はスピン統計の対称性を破る理論への接続を妨げる。
• 円に沿ったコンパクト化では、$k$ に依存しないかぎり、$\mathbb{S}^3$ 上のディラック作用素がゼロモードを持たないため、$k \mod 24$ の区別は検出できない。
• レベル $\kappa = |k| - 1$ のスピン統計的カレント代数のラムドセクターにおける基底状態エネルギーは、すべての $k \neq 0$ に対して正であり、$k \neq 0$ の場合にスピン統計の対称性を保つ基底状態が存在しないことを示唆する。