[論文レビュー] A note on splitting numbers for Galois covers and $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets

Taketo Shirane|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Galois被覆の下での滑らかな複素代数的多様体内の部分多様体に対して、分割数を導入し、特定のホメオモルフィズムの下で不変であることを証明する。Shimadaの平面曲線の型(b, m)に属する等奇性族Fb,mにこの不変量を適用することで、族の異なる連結成分に属する曲線は、基本群が同型であっても、位相的に区別可能であることを示す。主な結果は、任意のk ≥ 2に対してπ₁同型のZariski k-pletを構成することであり、これにより、ペアを超えるようなこのようなk-pletの存在についての未解決問題が解決される。

ABSTRACT

In this paper, we introduce extit{splitting numbers} of subvarieties in a smooth variety for a Galois cover, and prove that the splitting numbers are invariant under certain homeomorphisms. By splitting numbers, we give a necessary and sufficient condition for two plane curves of type $(b,m)$ to be topologically equivalent as pairs of the complex projective plane and plane curves, where a plane curve of type $(b,m)$ is an arrangement of two smooth plane curves of degree $3$ and $b$ defined by I.~Shimada. Consequently, we prove that there are $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets for any $k\geq2$.

研究の動機と目的

• Galois被覆の下での部分多様体の分割数を定義・研究し、位相的不変量としての性質を明らかにすること。
• Fb,mの異なる連結成分に属する型(b, m)の曲線がZariski対をなすかどうかという問題0.3を解決すること。
• 任意のk ≥ 2に対してπ₁同型のZariski k-pletの存在を証明することにより、既知のZariski対に関する結果を拡張すること。

提案手法

• Galois被覆φにおける部分多様体Cの分割数sφ(C)を、被覆の正規化におけるCの引き戻しの連結成分の数として定義する。
• エタール被覆と直線束の幾何学を用いて、分割数を曲線のPic0における除数の位数に関連付ける。
• 曲線Bに沿って分岐する次数mの単純循環被覆の理論を適用し、Bと交わる際にmで割り切れる重複度を持つ曲線Cの分割数を計算する。
• Shimadaの等奇性族Fb,m(µ)の構造を活用し、Eの分割数をPic0(E)における除数類の位数に関連付ける。
• 正規化と有理型写像を用いて、被覆構造を保存するホメオモルフィズムの下で分割数が不変であることを証明する。
• 定理2.7を用いて、特定の次数の中間曲線の存在を根拠に分割数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群が同型であっても、分割数は平面曲線の位相的型を区別できるか？
• RQ2 Fb,mの異なる連結成分に属する型(b, m)の2曲線は、分割数によって位相的に区別可能か？
• RQ3 任意の整数k ≥ 2に対して、π₁同型のZariski k-pletが存在するか？
• RQ4 曲線EのGalois被覆における分割数は、Pic0(E)における除数類の位数によって決定されるか？
• RQ5 基本群が同型であっても、不変量sφ(C)はP²における曲線の非ホメオモルフィックな埋め込みを検出できるか？

主な発見

• 分割数sφ(C)は、被覆構造を保存するホメオモルフィズムの下で不変である。
• 型(b, m)の曲線に対して、Eの分割数はsφ(E) = m/µであり、ここでµはPic0(E)における[OE(DR − nH)]の位数である。
• Fb,mの異なる連結成分に属する曲線R1とR2がZariski対をなすための必要十分条件は、それらの分割数が異なることである。
• Fb,mの連結成分の数はmの約数の個数に等しく、各成分は固定された分割数に対応する。
• 任意のk ≥ 2に対して、π₁同型のZariski k-pletが存在し、これはF5k−1,5k−1のk個の異なる成分から構成される。
• この構成により、π₁同型のZariski k-pletがすべてのk ≥ 2に対して存在することを確認し、分野における未解決問題に答えを提示する。