[論文レビュー] A note on Stirling permutations

Ira M. Gessel|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Riordan と Donaghey の Stirling 順列とオイラー多項式を結ぶ恒等式を、r-順列の枠組みと木に基づく分解を導入することで一般化する。関数微分方程式を導出し、r > s に対して r-順列と s-順列の生成関数の間の重要な合成関係を確立する。これにより、Foata と Strehl の結果が r-木と s-スケルトンを用いて高次順列へと拡張される。

ABSTRACT

In this note we generalize an identity of John Riordan and Robert Donaghey relating the enumerator for Stirling permutations to the Eulerian polynomials.

研究の動機と目的

• Stirling 順列とオイラー多項式を結ぶ Riordan と Donaghey の恒等式を、r > 2 の高次 r-順列へ一般化すること。
• r-順列の構造と降下を符号化する r-木に基づく組合せ的モデルを構築すること。
• s < r の場合に、r-順列の指数的生成関数と s-順列の指数的生成関数を結ぶ関数方程式を確立すること。
• r-木の s-スケルトン構成を用いて、Foata と Strehl の降下解析を r-順列へ拡張すること。
• 繰り返し要素を含む多重集合順列における降下統計を統一的に研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• r-順列を、i < j < k かつ a_i = a_k ならば a_j ≥ a_i を満たす多重集合 {1^r, 2^r, ..., n^r} の順列として定義する。
• 降下数 d(π) を、a_i > a_{i+1} を満たす位置 i の数とし、空でない列の終端にも降下を追加する。
• A^{(r)}(z) = ∑_{n≥0} A_n^{(r)}(t) z^n / n! として指数的生成関数を構成する。ここで A_n^{(r)}(t) は Q_n^{(r)} における降下の生成多項式である。
• 各記号の最初の出現を削除することで r-順列を分解し、r+1 個の r-順列が得られることに基づき、A^{(r)}(z) の微分方程式を導出する。
• 各 r-順列 π を、降下が最後の子が空であるノードに対応する (r+1)-分木 T(π) として表現する。
• r-木の s-スケルトンを、各ノードの最初の r−s 個の子を削除することで得られる s-木として定義し、スケルトンと削除された部分木の両方の降下数が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riordan と Donaghey の Stirling 順列に関する恒等式を、r > 2 の r-順列へどのように一般化できるか？
• RQ2 s < r の場合に、指数的生成関数 A^{(r)}(z) と A^{(s)}(z) の間の関数的関係は何か？
• RQ3 r-順列の降下構造を、木表現を用いてどのように符号化・分析できるか？
• RQ4 r-木の s-スケルトンが、元の r-順列の降下数をどのように保存するか？
• RQ5 木に基づく分解を用いて、Foata と Strehl のオイラー多項式に関する結果を高次順列へ拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、積分を 0 から z までとし、関数合成を適用することで、A^{(r)}(z) = A^{(s)}( ∫[A^{(r)}(z)]^{r−s} dz ) という関数方程式を確立する。
• r = 2 かつ s = 1 の場合、これは Riordan と Donaghey の元の恒等式に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• r-順列 π の降下数は、その s-スケルトンと削除された部分木の降下数の和に等しくなる。これにより、再帰的な降下数の計算が可能になる。
• r-順列 π の木表現 T(π) は、(r+1)-分木であり、降下は最後の子が空であるノードに対応する。
• r-順列を r+1 個の r-順列に分解することにより、微分方程式 d/dz A^{(r)}(z) = [A^{(r)}(z)]^r [A^{(r)}(z) − 1] + t [A^{(r)}(z)]^r が導出される。
• A^{(0)}(z) = 1 + t(e^z − 1) は 0-順列（通常の順列）に対応し、フレームワークの基本ケースを確認する。