[論文レビュー] A note on strong convergence of implicit scheme for SDEs under local one-sided Lipschitz conditions

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡散係数に局所的片側リプシッツ条件が成り立つ場合の確率的微分方程式（SDEs）に対して、修正された $\theta$-EM陰的スキームの強い収束を確立している。この条件は、通常要求されるグローバルまたは局所的リプシッツ条件よりも弱い。正規化技術を導入することで適切な定義を保証し、著者らはステップサイズがゼロに近づくにつれて、数値解が真の解に対して平均二乗意味で収束することを証明した。これは、ドリフト係数が超線形的に増加する場合でも成り立つ。

ABSTRACT

Under a local one-sided Lipschitz condition, Krylov [KR] proved the existence and uniqueness of the strong solutions for stochastic differential equations by using the Euler-Maruyama approximation, where he showed that the sequence of numerical solutions converges to the true solution in probability as the stepsize tends to zero. In this note, we shall extend the results in [KR] and investigate an implicit numerical scheme for these equations under a local one-sided Lipschitz condition.

研究の動機と目的

• SDEsに対して、局所的片側リプシッツ条件の下で強い収束結果が得られていないという問題に対処すること。
• 標準的な $\theta$-EMスキームが適切に定義されるためにグローバル片側リプシッツ条件を必要とすることという制限を克服すること。
• 局所的片側リプシッツ条件の下で、存在と一意性を保証するための正則化技術を用いた修正された $\theta$-EMスキームの開発。
• 超線形的に増加するドリフト係数を有するSDEsに対して、修正されたスキームが真の解に対して平均二乗意味で強い収束を示すことを確立すること。
• Euler-Maruyamaスキームやトームドスキームに関する先行研究を、ドリフト関数の正則性仮定を弱める条件下での陰的スキームへと拡張すること。

提案手法

• ドリフト係数を変更するための正則化関数を導入し、局所的片側リプシッツ条件の下でも修正された $\theta$-EMスキームが適切に定義されることを保証する。
• 数値解の成長を制御し、モーメントバウンドを確保するために、停止時刻 $\nu_{\triangle}$ を定義する。
• 伊藤の公式とグローバルの不等式を用いて、正確な解と数値解の間の誤差のモーメント推定を導出する。
• ヤングの不等式とモーメントバウンドを用いて、爆発確率や尾部事象を制御する。
• 補題2.5を用いて、数値解の事前モーメントバウンドを確立し、超線形増加のケースにおける発散を回避する。
• 三角不等式と $L^2$ ノルムの制御を組み合わせて誤差成分の推定を統合し、最終的な収束結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト係数が局所的片側リプシッツ条件を満たす場合に、Euler-Maruyamaや $\theta$-EMのような陰的数値スキームがSDEsに対して強い収束を達成できるか。
• RQ2 標準的な $\theta$-EMスキームがグローバル片側リプシッツ条件を必要とするにもかかわらず、局所的片側リプシッツ条件下で適切に定義された陰的スキームを構築することは可能か。
• RQ3 正則化を施した修正 $\theta$-EMスキームは、超線形的に増加するドリフト係数を有するSDEsに対しても強い収束を維持できるか。
• RQ4 局所的片側リプシッツ条件下で、修正スキームの強い収束速度は何か。
• RQ5 正則化技術は、Euler-Maruyamaスキームが同様の条件下で失敗する場合でも、モーメント爆発を防ぎ、収束を保証できるか。

主な発見

• ドリフト係数に正則化を施した修正 $\theta$-EMスキームは、局所的片側リプシッツ条件下でも、数値解の存在と一意性を保証する。
• スキームは真の解に対して平均二乗意味で強い収束を示す：$\mathbb{E}\left(\sup_{0\leq t\leq T}|X(t)-Y_{\Delta}(t)|^{2}\right) \to 0$ が $\Delta \to 0$ のとき成り立つ。
• ドリフト係数が超線形的に増加する場合でも、収束が保証され、標準的なEuler-Maruyamaスキームの既知の制限を克服している。
• 正則化技術はドリフトの成長を効果的に制御し、モーメントバウンドの確立と数値スキームの発散回避に寄与している。
• 停止時刻の議論、モーメント推定、グローバルの不等式を組み合わせた手法により収束が証明されており、最終的なバウンドは $M_{g(\Delta)}\Delta^{1/2}$ と $g(\Delta)^{-p}$ に依存する。
• 本稿では、局所的片側リプシッツ条件下での収束速度の導出は未解決のまま残されており、本研究ではそのような速度は得られていない。