[論文レビュー] A note on sum and difference of correlated chi-squared variables

Alberto Ferrari|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、相関のあるカイ二乗分布変数の和と差に対して、それぞれガンマ分布とバリアンス・ガンマ分布を用いた単純で柔軟な近似手法を提案する。この手法は、平均と分散に基づくパrameterizationにより、相関度合いが異なる状況でも高精度な適合を達成し、共通の尺度パラメータまたは形状パラメータを持つガンマ分布への一般化も可能である。

ABSTRACT

Approximate distributions for sum and difference of linearly correlated $χ^{2}$ distributed random variables are derived. It is shown that they can be reduced to conveniently parametrized gamma and Variance-Gamma distributions, respectively. The proposed distributions are very flexible, and the one for sum in particular has straight-forward generalizations to cases where multiple $χ^{2}$ variables with different parameters are involved. The results promptly extend to every sum of gamma variables with common scale and to every difference between gamma variables with common shape and scale. The fit of the distributions is tested on simulated data with remarkable results.The approximations presented are expected to be especially useful to researchers working on gamma-distributed variables.

研究の動機と目的

• 共通または異なる自由度を持つ線形に相関するカイ二乗分布変数の和の分布に対する実用的で一般化可能な近似手法の開発。
• 相関係数が1に近づくような状況を含め、相関するカイ二乗分布変数の差の分布への近似の拡張。
• 共通の尺度パラメータまたは形状パラメータを持つガンマ分布の和および差への結果の一般化。
• 異なる従属構造のもとで、シミュレーションデータに対する提案された近似の経験的適合度の評価。
• 一般化超幾何関数を含む正確だが複雑な表現に対する計算効率の良い代替手法の提供。

提案手法

• 相関するカイ二乗分布変数の和を、形状パrameter $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $ および尺度パラメータ $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ のガンマ分布としてパラメータ化し、一次モーメントと二次モーメントを一致させる。
• 全自由度と対ごとの相関に依存する形状および尺度パラメータを定義することで、N 個の変数への和の近似を一般化する。
• 同一に分布する二つのカイ二乗分布変数の差を、位置 0、尺度 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $、形状パラメータ $ \frac{2}{m} $ のバリアンス・ガンマ分布としてモデル化し、平均がゼロで分散が $ 1 - \rho $ に比例するようにする。
• モーメント生成関数の分析を用いて、$ \rho = 0 $ の場合に差の分布がバリアンス・ガンマ分布に一致することを示し、$ 0 \leq \rho < 1 $ に拡張する際は尺度パラメータをスケーリングすることで拡張する。
• 同じ形状および尺度を持つ一般のガンマ分布に対しても同様のパラメータ化を適用し、差の分布に対して閉形式の近似を得る。
• シミュレーションを用いて近似を検証し、分位数関数および二変量カイ二乗分布サンプリング法の両方において、経験的分布と適合されたガンマ分布およびバリアンス・ガンマ密度を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通の自由度 $ m $ を持つ二つの相関するカイ二乗分布変数の和は、特殊関数を必要とせず相関を考慮したガンマ分布で高精度に近似可能か？
• RQ2 有限標本における、一般化超幾何関数を用いて導出された正確な分布と比較して、提案されたガンマ近似の性能はいかがなものか？
• RQ3 同じ自由度を持つ二つの相関するカイ二乗分布変数の差の分布は、相関度合いが高くなるに従い、バリアンス・ガンマ分布で適切に近似可能か？
• RQ4 提案された近似は、共通の尺度を持つガンマ分布の和および共通の形状と尺度を持つガンマ分布の差へ一般化可能か？
• RQ5 特に分位数関数に基づくシミュレーションなど、多変量正規分布に基づく二乗変換とは異なる従属構造に対しても、近似は頑健性を保っているか？

主な発見

• 同じ自由度 $ m $ を持つ二つの相関するカイ二乗分布変数の和は、形状 $ \frac{m}{1 + \rho} $ および尺度 $ 2(1 + \rho) $ のガンマ分布で良好に近似される。この近似は一次モーメントと二次モーメントを一致させる。
• 自由度が異なる $ m_1 \neq m_2 $ の場合、和は形状 $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $ および尺度 $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ のガンマ分布で近似され、平均と分散が正しく維持される。
• 同じ $ m $ の自由度を持つ二つの相関するカイ二乗分布変数の差は、位置 0、尺度 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $、形状 $ \frac{2}{m} $、歪度 0 のバリアンス・ガンマ分布に近似的に従う。
• 差の分布に対するバリアンス・ガンマ近似は、ゼロ平均を維持し、分散 $ 4m(1 - \rho) $ が相関に応じて適切にスケーリングされる。
• シミュレーションの結果、データが二変量 $ \chi^2 $ から抽出される場合、ガンマ近似は正確な分布とほぼ同等の適合度を示すが、分位数関数法を用いる場合には正確な分布を上回る性能を示し、従属構造への頑健性が示唆される。
• これらの近似は、共通の尺度を持つガンマ分布の和および共通の形状と尺度を持つガンマ分布の差へ直接一般化可能であり、統計的モデリングにおける広範な応用が可能である。