[論文レビュー] A note on symplectic singularities

Yoshinori Namikawa|ArXiv.org|Jan 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック特異点の特異点集合に、余次元3の既約成分が存在できないことを証明しており、終極的シンプレクティック特異点は余次元4以上でなければならないことを確立している。議論は特異点の解消、付随公式、およびデュ・ヴァル特異点の超曲面変形におけるシンプレクティック形式の明示的解析を用い、余次元3の成分の存在が、シンプレクティック形式の外積冪の非消滅性によって矛盾を引き起こすことを示している。

ABSTRACT

In this paper we shall prove that the singular locus of a symplectic singularity has no codimension 3 irreducible components. As a corollary, a symplectic singularity is terminal if and only if its singular locus has codimension $\geq 4$. It is hoped that a symplectic singularity has much stronger properties.

研究の動機と目的

• シンプレクティック特異点の特異点集合に、余次元3の既約成分が存在しないことを証明すること。
• 余次元の上限による終極的シンプレクティック特異点の特徴付けを確立すること。
• 終極的特異点をもつ射影的シンプレクティック多様体のKuranishi空間が滑らかであることを示すこと。
• 特にcDVおよびデュ・ヴァル特異点の文脈において、完全交差や解消への制限によるシンプレクティック形式の振る舞いを分析すること。

提案手法

• 特異点集合上の点の周囲の3次元特異点に問題を還元するために、完全交差超平面切断を用いる。
• 全空間の解消における正則標準因子とそのファイバーにおけるものの関係を、付随公式を用いて関係づける。
• 次元n−3のディスクでパrametrizedされた変形族の構成により、局所構造を3次元cDV特異点の変形とみなす。
• 局所座標におけるシンプレクティック形式ωの明示的計算と、外積冪∧^{n/2}ωの消滅性の分析を行う。
• 非退化な2形式が正則標準因子の係数が0である解消上に存在する場合、外積冪の非消滅性により矛盾が生じることを用いる。
• 特にa_i = 0ならば例外的 divisor が余次元2の部分多様体に写されるという基準を含む、既知の正則特異点および終極的特異点の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック特異点が、特異点集合の余次元3の既約成分をもつことは可能か？
• RQ2 例外的 divisor が0の不備をもつとき、シンプレクティック形式が解消上で正則に拡張できる条件は何か？
• RQ3 終極的特異点をもつシンプレクティック多様体のKuranishi空間は常に滑らかか？
• RQ4 シンプレクティック形式の存在が、変形論を通じて特異点の局所構造に課す制約は何か？
• RQ5 不備が消滅するとき、例外的 divisor 上でのシンプレクティック形式の外積冪はどのように振る舞うか？

主な発見

• シンプレクティック特異点の特異点集合には、余次元3の既約成分が存在しない。これが主定理の証明に繋がる。
• シンプレクティック特異点が終極的であることと、その特異点集合が余次元4以上であることは同値である。
• 終極的特異点をもつ射影的シンプレクティック多様体のKuranishi空間は、余次元の上限の結果から滑らかである。
• 解消に於いて、特異点集合へ写る不備が0の例外的 divisor をもつ場合、シンプレクティック形式は正則に拡張できない。これは矛盾を引き起こす。
• デュ・ヴァル特異点上のファイバーにおけるシンプレクティック形式ωの明示的解析により、A_n型またはそれ以外の非A_n型特異点では、∧^{n/2}ωがどこでも消えないことは不可能であることが判明。これは分母における極構造に起因する。
• 矛盾は、外積冪が必要な極の位数を満たす必要があるが、定義式の立方項の存在により、x ∈ m^2 または x^2 ∈ xm^2 + m^4 となることは不可能であるため生じる。