[論文レビュー] A note on the adapted weak topology in discrete time

Gudmund Pammer|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、比較可能なコンパクト Hausdorff 空間の位相が一致することを用いて、離散時間の確率過程におけるすべての適応的弱位相が一致することを位相的証明する。この手法により、Backhoff ら [5] の主要な結果を位相的議論によって再発見し、マルコフ過程および自然フィルトレーションを備えた過程における適応的弱位相を特徴づけ、最適輸送理論を用いて R^d 上の古典的弱収束を特徴づける弱 Wasserstein 距離を導入する。

ABSTRACT

The adapted weak topology is an extension of the weak topology for stochastic processes designed to adequately capture properties of underlying filtrations. With the recent work of Bart--Beiglböck-P. as starting point, the purpose of this note is to recover with topological arguments the intriguing result by Backhoff-Bartl-Beiglböck-Eder that all adapted topologies in discrete time coincide. We also derive new characterizations of this topology including descriptions of its trace on the sets of Markov processes and processes equipped with their natural filtration. To emphasize the generality of the argument, we also describe the classical weak topology for measures on $\mathbb R^d$ by a weak Wasserstein metric based on the theory of weak optimal transport initiated by Gozlan-Roberto-Samson-Tetali.

研究の動機と目的

• 離散時間の確率過程におけるすべての適応的弱位相が等価であることを位相的証明すること。
• Backhoff ら [5] が得た、離 discrete 時間におけるすべての適応的位相が一致するという結果を、位相的議論を用いて再発見・強化すること。
• マルコフ過程および自然フィルトレーションを備えた過程の部分集合における適応的弱位相を特徴づけること。
• 弱最適輸送理論を用いて、R^d 上の古典的弱収束を特徴づける弱 Wasserstein 距離の表現を確立すること。
• 適応的弱位相が、新規な距離的特徴づけにより、他の適応的位相と同値であることを示すこと。

提案手法

• フィルタード過程の空間における適応的弱位相と他の適応的位相を比較し、それらがコンパクト Hausdorff である場合に一致することを応用する。
• 適応的 Wasserstein 距離 AWp を用いて、フィルタード過程の空間 FPp 上の適応的弱位相 τAW を誘導する距離として用いる。
• [7] の定理 2 を適用し、集合が AWp-相対コンパクトであることと Wp-相対コンパクトであることの必要十分条件を関係づける。
• [7] の適応的ブロック近似を用いて、AWp が因子空間 FP 上の代表元の選択に依存せず定義可能であることを保証する。
• 凸順序と測度のカップリングを用いて、Pp(R^d) 上に弱 Wasserstein 距離 Vp を導入し、それによって誘導される位相 τV が p-Wasserstein 位相より粗いことを示す。
• De la Vallée-Poussin の定理と凸順序における下界集合のコンパクト性を用いて、Vp における相対コンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間の確率過程におけるすべての適応的弱位相は一致するか？
• RQ2 確率的構成を用いるのではなく、位相的議論によって適応的位相の一致を証明できるか？
• RQ3 適応的弱位相は、マルコフ過程や自然フィルトレーションを備えた過程のクラスに制限するとどうなるか？
• RQ4 古典的弱収束 on R^d は、最適輸送理論に基づく弱 Wasserstein 距離によって特徴づけられるか？
• RQ5 適応的弱位相を位相的に特徴づけるための距離の必要十分条件は何か？

主な発見

• 離 discrete 時間の確率過程の空間におけるすべての適応的弱位相が一致し、Backhoff ら [5] の結果が位相的議論により再発見された。
• 適応的弱位相 τAW は適応的 Wasserstein 距離 AWp によって位相的可換であり、Wp ≤ d ≤ AWp を満たす任意の距離 d に対しても τAW を位相的に特徴づける。
• 適応的弱位相は、Snell の包、Doob の分解、およびその他のフィルトレーション依存的演算によって誘導される位相と一致する。
• マルコフ過程の部分集合では、適応的弱位相は適応的 Wasserstein 距離 CWp によって誘導される位相と一致する。
• Pp(R^d) 上の古典的弱位相は、凸順序とマルコフ型カップリングを用いて定義される弱 Wasserstein 距離 Vp によって位相的に特徴づけられる。
• 適応的弱位相における相対コンパクト性は、[7] の定理 2 により、p-Wasserstein 位相における法則の相対コンパクト性と同値である。