[論文レビュー] A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers

Kim, T.|ArXiv.org|Apr 10, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、連続する q-整数の累乗の交互和に基づく母関数を用いて、q-Euler数および q-多項式の新しいクラスを導入する。p-進 q-積分と母関数を用いて、形式 $sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l[l]_q^m$ の交互和の明示的公式を導出し、古典的 Eule数恒等式を q-アナログ設定に一般化し、新しい q-Euler数を含む閉形式で表現する。

ABSTRACT

In this paper we construct a new q-Euler numbers and polynomials. By using these numbers and polynomials, we give the interesting formulae related to alternating sums of powers of consecutive q-integers following an idea due to Euler.

研究の動機と目的

• 累乗の q-整数に対する交互和の文脈において、古典的 Eule数を一般化する新しい q-アナログの Eule数および多項式を開発すること。
• 母関数と p-進 q-積分を用いて、これらの新しい q-Euler 数と交互和 $\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l[l]_q^m$ の間の関係を確立すること。
• 古典的 Eule数恒等式、たとえば $\frac{(-1)^{m+1}E_m(n) + E_m}{2} = \sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l l^m$ を、q-設定に拡張すること。
• Euler q-zeta 関数を定義し、その新しい q-Euler 数および L-関数との関係を調査すること。

提案手法

• 新しい q-Euler 数 $E_{n,q}$ を構成するため、母関数 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[l]_q t} = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q} \frac{t^n}{n!}$ を定義する。
• p-進 q-積分表現 $\sum_{n=0}^\infty E_{n,q} \frac{t^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \int_{\mathbb{Z}_p} [x]_q^n d\mu_{-q}(x) \frac{t^n}{n!}$ を用いて、q-Euler 数を q-アナログの Bernoulli 数および Eule 数と結びつける。
• q-Euler 数の閉形式表現 $E_{n,q} = 2\left(\frac{1}{1-q}\right)^n \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^j \frac{1}{1+q^j}$ を導出する。
• 母関数 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[x+l]_q t} = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$ を用いて q-Euler 多項式を定義し、古典的 Eule 多項式を一般化する。
• 恒等式 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m = \frac{(-1)^{m+1} E_{m,q}(n) + E_{m,q}}{2}$ を確立し、古典的交互和公式を一般化する。
• Euler q-zeta 関数 $\zeta_{E,q}(s,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{[n+x]_q^s}$ を定義し、$\zeta_{E,q}(-n,x) = \frac{1}{2} E_{n,q}(x)$ を通じて q-Euler 数と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Eule 数の交互和の累乗に対する恒等式を、新しい q-Euler 数を用いて q-アナログ設定にどのように一般化できるか。
• RQ2 新しい q-Euler 数の p-進 q-積分表現は何か。また、その表現は母関数とどのように関係するか。
• RQ3 交互和 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m$ は、新しい q-Euler 数および多項式を用いて閉形式で表現可能か。
• RQ4 新しい q-Euler 数は、$q \to 1$ の極限において、古典的 Eule 数および多項式とどのように関係するか。
• RQ5 Euler q-zeta 関数と新しい q-Euler 数および多項式との間の関数的関係は何か。

主な発見

• 新しい q-Euler 数は $E_{n,q} = 2\left(\frac{1}{1-q}\right)^n \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^j \frac{1}{1+q^j}$ で明示的に与えられ、$q \to 1$ の極限で古典的 Eule 数に還元される。
• 交互和 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m$ は、正確に $\frac{(-1)^{m+1} E_{m,q}(n) + E_{m,q}}{2}$ に等しく、通常の Eule 数の古典的恒等式を一般化する。
• q-Euler 多項式 $E_{n,q}(x)$ は母関数 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[x+l]_q t}$ を用いて定義され、$\lim_{q \to 1} E_{n,q}(x) = E_n(x)$ を満たす。
• Euler q-zeta 関数 $\zeta_{E,q}(s,x)$ は $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{[n+x]_q^s}$ として定義され、非負整数 $n$ に対して $\zeta_{E,q}(-n,x) = \frac{1}{2} E_{n,q}(x)$ を満たす。
• 一般化された q-Euler L-関数 $l_{E,q}(s,\chi)$ は $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \chi(n)}{[n]_q^s}$ を用いて定義され、$n \in \mathbb{N}$ に対して $l_{E,q}(-n,\chi) = \frac{1}{2} E_{n,\chi,q}$ を満たす。
• 本稿では、新しい q-Euler 数 $E_{n,q}$ に対して、既知の $E_{n,q}^*$ の Witt 型公式に類似した公式を求める未解決問題を提示している。