[論文レビュー] A note on the automorphism groups of Johnson graphs

S. Morteza Mirafzal|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$n \neq 2i$ のとき $\mathrm{Sym}(n)$ に同型であり、$n = 2i$ のとき $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ に同型である Johnson 図 $J(n,i)$ の自己同型群について、重い群論的道具を用いずに、距離に基づく頂点構造解析と群作用の議論によって初等的な証明を提供する。これは、先行研究における予想を確認するものである。

ABSTRACT

The Johnson graph $J(n, i)$ is defined as the graph whose vertex set is the set of all $i$-element subsets of $\{1, . . ., n \}$, and two vertices are adjacent whenever the cardinality of their intersection is equal to $i$-1. In Ramras and Donovan [SIAM J. Discrete Math, 25(1): 267-270, 2011], it is proved that if $ n eq 2i$, then the automorphism group of $J(n, i)$ is isomorphic with the group $Sym(n)$ and it is conjectured that if $n = 2i$, then the automorphism group of $J(n, i)$ is isomorphic with the group $ Sym(n) imes \mathbb{Z}_2$. In this paper, we will find these results by different methods. We will prove the conjecture in the affirmative.

研究の動機と目的

• Johnson 図 $J(n,i)$ の自己同型群が $n = 2i$ のときの予想を解決すること。
• 基本的な群論とグラフ構造のみを用いた初等的証明を通じて、Johnson 図の自己同型群を提示すること。
• 距離推移的性質と安定化部分群の解析を用いて、$n \neq 2i$ のとき $\mathrm{Sym}(n)$、$n = 2i$ のとき $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ に同型であることを確立すること。
• 補集合写像 $v \mapsto v^c$ が $\mathrm{Sym}(n)$ の像に属さない自己同型であることを示し、すべての $f_\theta$ と可換であることを示すこと。

提案手法

• 固定頂点 $x$ からの距離分割 $\Gamma_i(x)$ を分析し、近傍の交差を用いて頂点を特徴付ける。
• $\Gamma_1(x)$（$x$ の近傍）が $L(K_{m,n-m})$ に同型であるという事実を用い、局所的自己同型構造を分析する。
• $\mathrm{Aut}(L(K_{m,n-m})) \cong \mathrm{Aut}(K_{m,n-m})$ の同型を適用し、安定化部分群 $G_v$ のサイズを制限する。
• 補集合写像 $\alpha(v) = v^c$ が $\mathrm{Sym}(n)$ の像に属さず、位数 2 の自己同型であることを示し、すべての $f_\theta$ と可換であることを示す。
• $n = 2m$ のとき、$\mathrm{Sym}(n)$ と $\alpha$ が生成する群が直接積 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ であることを証明し、$|\mathrm{Aut}(J(n,m))|$ の上界に達することを示す。
• 軌道-安定化部分群定理と頂点推移性を用い、$|\mathrm{Aut}(J(n,m))|$ を $|G_v| \cdot \binom{n}{m}$ と関連づけ、最終的な群同型を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Johnson 図 $J(n,i)$ の自己同型群は $n = 2i$ のときどのようにか？
• RQ2 $n = 2i$ のとき、$J(n,i)$ の自己同型群は、予想通り $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ に同型か？
• RQ3 自己同型群は、群論的およびグラフ論的の基本的手法のみを用いて特定可能か？
• RQ4 なぜ補集合写像 $v \mapsto v^c$ は $\mathrm{Sym}(n)$ の像に属さない自己同型として作用し、対称群作用とどのように作用するか？

主な発見

• $n \neq 2m$ のとき、$J(n,m)$ の自己同型群は $\mathrm{Sym}(n)$ に同型であり、群の位数が $n!$ で抑えられ、対称群作用がこの上限に達するためである。
• $n = 2m$ のとき、$J(n,m)$ の自己同型群は $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ に同型であり、$\mathbb{Z}_2$ 因子は補集合写像 $\alpha(v) = v^c$ によって生成される。
• 補集合写像 $\alpha$ は位数 2 の自己同型であり、固定点と互換を用いた背理法により、$\mathrm{Sym}(n)$ の像に属さないことが示された。
• 自己同型群 $\mathrm{Aut}(J(n,m))$ は $H \times \langle \alpha \rangle$ に同型であり、$H \cong \mathrm{Sym}(n)$ は対称群作用の像であり、$\alpha$ はすべての $f_\theta$ と可換であるため、$H \triangleleft G$ かつ $\langle \alpha \rangle \triangleleft G$ である。
• 安定化部分群 $G_v$ のサイズは $|\mathrm{Aut}(K_{m,n-m})|$ で抑えられ、この上限はタイトであり、$n = 2m$ のとき $|\mathrm{Aut}(J(n,m))| \leq 2(2m)!$ が得られ、$\mathrm{Sym}(2m) \times \mathbb{Z}_2$ の位数と一致する。
• 群 $G = \mathrm{Aut}(J(n,m))$ は $H \langle \alpha \rangle$ に等しく、すべての $\theta$ に対して $f_\theta \alpha = \alpha f_\theta$ が成り立つため、この積は直積であり、$n = 2m$ のとき $G \cong \mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ が確認される。