[論文レビュー] A Note On The Chern-Simons And Kodama Wavefunctions

Edward Witten|ArXiv.org|Jun 18, 2003

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 58

ひとこと要約

この論文は、4次元のヤン・ミルズ理論におけるチャーン・サイモンズ波動関数を、形式的なゼロエネルギー固有状態として調査し、正エネルギーの正ヘリシティゲージボソンと負エネルギーの負ヘリシティゲージボソンを含む状態を記述していることが示されている。また、負ノルム状態も含む。この状態は、素朴なフェルミオン真空の超対称的パートナーとして特定され、超対称性およびその周囲に構築されたフォック空間の構造によってその存在が説明される。

ABSTRACT

Yang-Mills theory in four dimensions formally admits an exact Chern-Simons wavefunction. It is an eigenfunction of the quantum Hamiltonian with zero energy. It is known to be unphysical for a variety of reasons, but it is still interesting to understand what it describes. We show that in expanding around this state, positive helicity gauge bosons have positive energy and negative helicity ones have negative energy. Some of the negative energy states would have negative norm. We also show that the Chern-Simons state is the supersymmetric partner of the naive fermion vacuum in which one does not fill the fermi sea. Finally, we give a sort of explanation of ``why'' this state exists. Similar properties can be expected for the analogous Kodama wavefunction of gravity.

研究の動機と目的

• チャーン・サイモンズ波動関数の物理的解釈を理解すること。これは、正規化不可能性やCPT不変性の欠如といった非物理的特徴を有するが、
• チャーン・サイモンズ状態が、量子場理論の基底状態として非物理的であるにもかかわらず、形式的になぜ存在するのかを明確にすること。
• チャーン・サイモンズ状態と超対称的枠組みにおける素朴なフェルミオン真空との間の関係を確立すること。
• 解析を重力の類似物、すなわちコダマ波動関数へと拡張し、同様の構造的性質を説明すること。

提案手法

• ヤン・ミルズ理論のハミルトニアンを分析し、条件 $(E + iB)\Psi = 0$ を用いてチャーン・サイモンズ波動関数をゼロエネルギー固有状態として同定する。
• チャーン・サイモンズ汎関数 $I(A)$ を用いて波動関数 $\Psi = \exp((2\pi/g^2)I(A))$ を構成し、これがゼロエネルギー固有状態条件を満たすことを示す。
• 調和振動子への類似を用い、逆さまのガウス波動関数を用いて、チャーン・サイモンズ状態の周囲に構築された非物理的フォック空間をモデル化する。
• 正負エネルギーモードのキャンセレーションをモデル化するための二つの振動子系を導入し、状態のゼロエネルギー性を示す。
• チャーン・サイモンズ状態が、すべての $\lambda$ 成分によって消える素朴なフェルミオン真空 $\chi$ のボソン的パートナーであることを示す超対称的対応を確立する。
• 超対称代数を用いて、組み合わせ状態 $\Psi \otimes \chi$ が正負ヘリシティモードのキャンセレーションによりゼロエネルギーを示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン・サイモンズ波動関数は、非物理的であるにもかかわらず、なぜヤン・ミルズ理論において形式的解として存在するのか？
• RQ2 負エネルギー状態および負ノルム状態を含むチャーン・サイモンズ状態の周囲に構築されたフォック空間の物理的解釈は何か？
• RQ3 超対称性の文脈において、チャーン・サイモンズ状態は素朴なフェルミオン真空とどのように関係しているか？
• RQ4 チャーン・サイモンズ状態の周囲での展開において、ヘリシティに依存するエネルギースペクトル（一方のヘリシティでは正、他方では負）はどのように説明されるか？
• RQ5 重力におけるコダマ波動関数は、ゲージ理論におけるチャーン・サイモンズ状態と同じ形式的枠組みで理解可能か？

主な発見

• チャーン・サイモンズ波動関数は、ヤン・ミルズハミルトニアンの正確なゼロエネルギー固有状態であり、$\Psi = \exp((2\pi/g^2)I(A))$ として構成される。ここで $I(A)$ はチャーン・サイモンズ汎関数である。
• チャーン・サイモンズ状態の周囲で展開すると、正ヘリシティゲージボソンは正エネルギーを、負ヘリシティゲージボソンは負エネルギーを示し、負ノルム状態を含むスペクトルが得られる。
• チャーン・サイモンズ状態の周囲に構築されたフォック空間には、負ノルム状態が含まれており、$n$ 番目の励起状態のノルムの符号は $(-1)^n$ である。
• チャーン・サイモンズ状態は、すべてのフェルミオン場 $\lambda$ の正周波数成分によって消える素朴なフェルミオン真空 $\chi$ の超対称的パートナーである。
• 組み合わせ状態 $\Psi \otimes \chi$ は、正負ヘリシティモードのキャンセレーションによりゼロエネルギーを示し、超対称真空のキャンセレーションに類似している。
• チャーン・サイモンズ状態の存在は、正負ヘリシティモードのエネルギーがキャンセレーションする系における超対称的パートナーとしての役割によって説明される。非物理的特徴（正規化不可能性やCPT不変性の欠如）にもかかわらず、その存在が説明される。