[論文レビュー] A Note on the Computational Complexity of Unsmoothened Vertex Attack Tolerance

Gunes Ercal|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意のグラフにおける滑らかでない頂点攻撃耐性（UVAT）を近似する問題の計算的非効率性を確立し、標準的な複雑性仮定のもとで、定数要因内で近似することがNP困難であることを証明する。本研究ではMAX-BCBS問題をUVATに還元し、UVATの多項式時間近似が可能ならば、それに類似したMAX-BCBSの近似が可能であることを示しており、これによりUVATがR4SAT困難であり、$ n^\delta $（$ 0 < \delta < 1 $）要因内で近似することが不可能であることが示された。

ABSTRACT

We have previously introduced vertex attack tolerance (VAT) and unsmoothened VAT (UVAT), denoted respectively as $τ(G) = \min_{S \subset V} \frac{|S|}{|V-S-C_{max}(V-S)|+1}$ and $\hatτ(G) = \min_{S \subset V} \frac{|S|}{|V-S-C_{max}(V-S)|}$, where $C_{max}(V-S)$ is the largest connected component in $V-S$, as appropriate mathematical measures of resilience in the face of targeted node attacks for arbitrary degree networks. Here we prove the hardness of approximating $\hatτ$ under various plausible computational complexity hypotheses.

研究の動機と目的

• 一般グラフにおける滑らかでない頂点攻撃耐性（UVAT）を近似する問題の計算複雑性を確立すること。
• UVATを近似することは、最大バランス型二部クリーク（MAX-BCBS）問題を近似することと同程度に難しいことを示すこと。
• 妥当な複雑性仮定のもとで、MAX-BCBSの近似不能性結果がUVATに引き継がれることを示すこと。
• ランダム4-SAT仮説のもとで、UVATが多項式的要因 $ n^\delta $（$ 0 < \delta < 1 $）内で近似可能でないR4SAT困難であることを証明すること。
• MAX-BCBSに関する共二部グラフ上での還元を用いて、従来の頂点統合性のNP困難性結果をUVATへ拡張すること。

提案手法

• 平衡二部グラフ $ G $ の共二部補グラフ $ \overline{G} $ を用いて、MAX-BCBS問題をUVATに還元する。
• $ \hat{\tau}(\overline{G}) $ を、$ \overline{G} $ の頂点集合の部分集合 $ S $ が頂点分離集合であるときの最小比 $ \frac{|S|}{|V-S-C_{\text{max}}(V-S)|} $ として定義する。
• 任意の $ (A,B) \in BK(G) $ に対して、$ \overline{G} $ の臨界攻撃集合 $ U $ は $ G $ における二部クリークに対応し、$ \hat{\tau}(\overline{G}) = \min_{(A,B) \in BK(G)} \frac{2n - |A| - |B|}{|A|} $ が成り立つことを示す。
• $ k $ を $ G $ における最大バランス型二部クリークのサイズとするとき、$ \frac{n}{k} - 1 \leq \hat{\tau}(\overline{G}) \leq 2\left(\frac{n}{k} - 1\right) $ の境界を確立する。
• この境界を用いて、UVATの $ \alpha $-近似が可能ならば、MAX-BCBSの $ 2\alpha $-近似が可能であることを示す。
• 既知のMAX-BCBSの近似不能性結果（定理1.4〜1.6）を応用し、UVATへ難易度を移転させ、NP困難性およびR4SAT困難性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数要因内で滑らかでない頂点攻撃耐性（UVAT）を近似することは計算的に困難であるか？
• RQ2 UVATの近似困難性を、最大バランス型二部クリーク（MAX-BCBS）の近似困難性に還元できるか？
• RQ3 ランダム4-SAT仮説などの妥当な複雑性仮定のもとで、UVATの最良の近似比は何か？
• RQ4 共二部グラフに制限した場合でも、UVATは近似困難のままであるか？
• RQ5 UVATは、最大クリーク問題と比べて、近似不能性の観点でどのように関係しているか？

主な発見

• 最大クリーク問題が $ n / 2^{c\sqrt{\log n}} $ 要因内で近似可能でないならば、UVATは定数要因内で近似可能でない（NP困難）。
• SATに時間 $ 2^{n^\epsilon} $ で動作する確率的アルゴリズムが存在しないという仮定のもと、サイズ $ N $ のグラフに対してUVATは要因 $ N^{\epsilon'} $ で近似可能でない。ここで $ \epsilon' = \frac{1}{2^{O(1/\epsilon \log(1/\epsilon))}} $ である。
• ランダム4-SAT仮説のもとで、UVATは任意の $ 0 < \delta < 1 $ に対して $ n^\delta $ 要因内で近似可能でないR4SAT困難である。
• UVATの多項式時間 $ \alpha $-近似アルゴリズムが存在するならば、MAX-BCBSの多項式時間 $ 2\alpha $-近似アルゴリズムが存在する（共二部グラフ上でも成立）。
• 境界 $ \frac{n}{k} - 1 \leq \hat{\tau}(\overline{G}) \leq 2\left(\frac{n}{k} - 1\right) $ が成り立つ。ここで $ k $ は元のグラフ $ G $ における最大バランス型二部クリークのサイズである。
• UVATはすべての非クリークグラフに対して定義され、非自明であり、その臨界攻撃集合は共二部補グラフにおける頂点分離集合に対応する。