[論文レビュー] A note on the consistency of the Narain-Horvitz-Thompson estimator

Guillaume Chauvet|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不均等確率標本抽出設計下におけるNarain-Horvitz-Thompson推定量の平均二乗一致性の代替十分条件を提案し、Cardotら（2010）の条件よりも取り扱いやすいものである。特に、制約集合のサイズと期待されるアルゴリズムステップ数の有界性を活用して、マーティングル標本抽出アルゴリズム下で、推定量が$O(n^{-1})$の平均二乗誤差を達成することを保証する。この結果は、補助変数を用いたバランス標本抽出において特に重要である。

ABSTRACT

For the Narain-Horvitz-Thompson estimator to have usual asymptotic properties such as consistency, some conditions on the sampling design and on the variable of interest are needed. Cardot et al. (2010) give some sufficient conditions for the mean square consistency, but one of them is usually difficult to prove or does not hold for some unequal probability sampling designs. We propose alternative conditions for the mean square consistency of the Narain-Horvitz-Thompson estimator. A specific result is also proved in case when a martingale sampling algorithm is used, which implies consistency under a fast algorithm for the cube method.

研究の動機と目的

• 不均等確率標本抽出設計下での平均二乗一致性を要求する2次包含確率条件の検証の難しさに対処すること。
• Narain-Horvitz-Thompson推定量の平均二乗一致性の代替的で、より容易に検証可能な条件を提供すること。
• とくに高速キューブ法実装において、マーティングル標本抽出アルゴリズム下での一貫性を確立すること。
• 現実的な標本抽出フレームワーク下で、推定量が$O(n^{-1})$の平均二乗誤差を達成することを保証すること。

提案手法

• 2次包含確率の難解な境界に依存しない、平均二乗一致性のための新たな十分条件を提案する。
• 標本抽出プロセスが段階的に進み、ランダムな摂動により包含確率を更新するマーティングル標本抽出アルゴリズムの枠組みを用いる。
• ステップ$i$で影響を受ける単位の集合を$U_i$と定義し、$\mathcal{C} = \max_i \textrm{Card}(U_i)$を1ステップあたりの最大単位数とする。
• 推定量の推定誤差の分散を$\left(\frac{\max |y_k|}{\min \pi_k}\right)^2 \times \mathcal{C}^2 \times E[T]$に束縛し、誤差をアルゴリズムの複雑さと関連付ける。
• 高速キューブ法（アルゴリズム1）にこの境界を適用し、$\mathcal{C} \leq q+1$および$E[T] = O(N)$であるため、$q = O(1)$のとき一貫性が保証される。
• これらの条件下で、$V\{N^{-1}(\hat{t}_y - t_y)\} = O(n^{-1})$が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cardot ら（2010）の条件よりも弱い条件下で、Narain-Horvitz-Thompson推定量の平均二乗一致性を確立できるか？
• RQ2 マーティングル標本抽出アルゴリズムの枠組みは、高速計算が可能なキューブ法の一致性を可能にするか？
• RQ3 影響を受ける単位集合$U_i$のサイズは、推定量の平均二乗誤差を制御するために果たす役割は何か？
• RQ4 $q = O(1)$のとき、高速キューブ法への一貫性結果を拡張できるか？
• RQ5 どのような条件下で推定量が$O(n^{-1})$の平均二乗誤差を達成するか？

主な発見

• 提案された平均二乗一致性の条件は、Cardot ら（2010）のSen-Yates-Grundy型条件よりも検証が容易であり、とくに不均等確率設計において顕著である。
• マーティングル標本抽出アルゴリズム下では、$\min \pi_k \geq \lambda_1 > 0$、$\max |y_k| < \infty$、$\mathcal{C} = O(1)$、$E[T] = O(N)$のとき、一貫性が成立し、$V\{N^{-1}(\hat{t}_y - t_y)\} = O(n^{-1})$が保証される。
• 高速キューブ法（アルゴリズム1）では、$\mathcal{C} \leq q+1$かつ$E[T] = O(N)$であるため、$q = O(1)$のとき一貫性が成立し、実用的調査設計に適用可能である。
• 標準的な2次包含確率条件が満たされない場合でも、新しい条件が満たされていれば、推定量は平均二乗で一貫性を保つ。
• 分散の上限$V(\hat{t}_y - t_y) \leq \left(\frac{\max |y_k|}{\min \pi_k}\right)^2 \mathcal{C}^2 E[T]$は、逐次標本抽出下での誤差解析の一般枠組みを提供する。
• 結果は、補助変数を用いたバランス標本抽出に高速キューブ法を用いることが正当化されることを裏付け、最小限の計算コストで新しい一貫性条件を満たす。