[論文レビュー] A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra

Tim Netzer, Rainer Sinn|ArXiv.org|Aug 24, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、任意の有限個のスぺクトラヒドラの射影の和集合の凸包が、自身でスぺクトラヒドラの射影であることを証明している。著者たちは、拡張空間における円錐包とミンコフスキー和を活用することで、ヘルトンとニエの有界な場合の結果を非有界な設定に一般化し、半定値表現可能な集合に対して基本的な閉包性を確立している。

ABSTRACT

A spectrahedron is a set defined by a linear matrix inequality. A projection of a spectrahedron is often called a semidefinitely representable set. We show that the convex hull of a finite union of such projections is again a projection of a spectrahedron. This improves upon the result of Helton and Nie, who prove the same result in the case of bounded sets.

研究の動機と目的

• 有限個の和集合の凸包における半定値表現可能な集合の閉包性を確立すること。
• 有界性または閉じた凸包を要件としていたヘルトンとニエの結果を、任意の有限個のスぺクトラヒドラの射影の和集合へと一般化すること。
• このような集合の凸包をスぺクトラヒドラの射影を用いて構成的に表現する方法を提供すること。
• 特に凸包が閉じていない場合に生じる技術的課題を解決すること。

提案手法

• 各スぺクトラヒドラの射影を、高次元空間における線形行列不等式で定義される集合として表現する。
• 補助変数とブロック行列制約を導入することで、拡張空間における各集合の円錐包を構築する。
• 円錐包のミンコフスキー和を用いて、元の集合の凸包を高次元空間における新たなスぺクトラヒドラで表現する。
• スケーリングと円錐制約を用いて凸結合を符号化するリフト技術を適用し、射影下での像が元の凸包を回復することを保証する。
• 存在記号を含む不等式の定義から、ブロック行列表現を用いて消去することで、半定値表現可能性を維持する。
• 得られた集合が元の空間において、入力集合の凸包と正確に一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個のスぺクトラヒドラの射影の和集合の凸包は、常に半定値表現可能か？
• RQ2 凸包における閉包性が、有界集合や閉じた凸包にとどまらず、一般の集合へと拡張可能か？
• RQ3 このような集合の凸包がスぺクトラヒドラのまま保たれるために必要な構造的制約は何か？
• RQ4 円錐包とミンコフスキー和を用いて、高次元スぺクトラヒドラにおける凸包を構成的に表現する方法は何か？
• RQ5 補助変数とブロック行列不等式は、凸化の過程で半定値表現可能性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の有限個のスぺクトラヒドラの射影の和集合の凸包は、自身でスぺクトラヒドラの射影である。これは、集合が非有界であっても、凸包が閉じていない場合でも成り立つ。
• スぺクトラヒドラの射影の円錐包も、ブロック行列制約を用いたリフト構成により、スぺクトラヒドラの射影であることが示された。
• 複数の射影の円錐包のミンコフスキー和は、拡張空間におけるスぺクトラヒドラをなす。その射影は、元の集合の凸包を回復する。
• 有界性や閉じていることへの依存を避けるために、補助変数とスケーリングパラメータλを導入し、すべてのケースを一様に取り扱う。
• 構成は有効的かつ構成的であり、ブロック行列不等式を用いて凸包の明示的な半定値表現を提供する。
• 有界性の仮定を排除することで、ヘルトンとニエの定理2.2を一般化し、半定値表現可能性の適用範囲を著しく拡大した。