[論文レビュー] A note on the definition of sliding block codes and the Curtis-Hedlund-Lyndon Theorem

Marcelo Sobottka, Daniel Gonçalves|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可算（おそらく無限）のアルファベット上のシフト空間に対して、各サイト回りの構成に応じて変化する可変近傍に依存する局所規則を備えた、スライディングブロック符号の一般化定義を提案する。主な貢献は、連続的かつ並進可換性を満たす写像として一般化スライディングブロック符号を特徴付ける、キューティス＝ヘドリンド＝ライランドの定理の再考版である。これにより、無限アルファベット設定下でも古典的同等性が回復される。

ABSTRACT

In this note we propose an alternative definition for sliding block codes between shift spaces. This definition coincides with the usual definition in the case that the shift space is defined on a finite alphabet, but it encompass a larger class of maps when the alphabet is infinite. In any case, the proposed definition keeps the idea that a sliding block code is a map with a local rule. Using this new definition we prove that the Curtis-Hedlund-Lyndon Theorem always holds for shift spaces over countable alphabets.

研究の動機と目的

• コンパクト性の欠如により、無限アルファベット上のシフト空間において古典的キューティス＝ヘドリンド＝ライランドの定理が成立しない問題を解決するため。
• アルファベットが無限である場合に、連続的かつシフト可換写像と古典的スライディングブロック符号との間に生じる不一致を解消するため。
• 局所性を保ちつつ、構成に応じて近傍が変化する可能性を許容する、スライディングブロック符号の一般化定義を提唱するため。
• 連続性および並進可換性が一般化スライディングブロック符号を完全に特徴付けることを証明し、無限アルファベットの場合に古典的定理の同等性を回復するため。

提案手法

• 入力列の局所的構成に依存する有限近傍の族を用いて、一般化スライディングブロック符号を定義する。
• 各出力記号が固定された有限近傍を介して局所規則によって決定される写像として、古典的スライディングブロック符号を再表現する。
• シフト空間の位相的構造（特に、閉開なシリンダーと並進不変性）を用いて、連続性およびシフト可換性の性質を分析する。
• 写像が一般化スライディングブロック符号であるための必要十分条件として、連続かつすべての並進と可換であること、を示す。これには、シリンダーの逆像の分解を用いた、シリンダーの和集合への分解を用いる。
• 連続的かつシフト可換写像の下でのシリンダーの逆像が、シリンダーの和集合であるという事実を活用し、開性と連続性を保証する。
• アルファベットが有限の場合、一般化定義が古典的定義に還元されることを示し、従来の理論と一貫性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所性の原則を保ちつつ、無限アルファベット上のシフト空間へ古典的スライディングブロック符号の定義を拡張することは可能か？
• RQ2 なぜ古典的キューティス＝ヘドリンド＝ライランドの定理は無限アルファベットに対して失敗するのか。欠落している構造的性質は何か？
• RQ3 連続性およびシフト可換性を満たすが、古典的定義では捉えきれない、より広いクラスの写像は存在するか？
• RQ4 一般化スライディングブロック符号の定義を用いて、無限アルファベットに対するキューティス＝ヘドリンド＝ライランドの定理の再考版を確立できるか？
• RQ5 無限アルファベット設定下で、連続性、並進不変性、および局所規則の存在との関係は何か？

主な発見

• 提唱された一般化スライディングブロック符号の定義は、可算無限アルファベット上のシフト空間へ自然に拡張可能であり、古典的定義を拡張する。
• 一般化定義は直感的な局所規則のアイデアを保ちつつ、各サイト回りの構成に応じて近傍のサイズや形状を変化可能にする。
• シフト空間間の写像が一般化スライディングブロック符号であるための必要十分条件は、連続的かつすべての並進と可換であることである。
• この再考された特徴付けにより、古典的定理の同等性が無限アルファベットの場合に回復され、古典的バージョンが均一連続性の欠如により失敗する状況においても成立する。
• 証明は、連続的かつシフト可換写像の下でのシリンダーの逆像が、シリンダーの和集合であるという事実に依拠しており、これにより開性が保証され、連続性が確保される。
• 写像 $\Phi(\mathbf{x})_j = \max_{i \geq j} x_i$ は連続的かつシフト可換であるが、一般化スライディングブロック符号ではない。この例は、新定義の必要性を示している。